Волновая оптика: интерференция и дифракция света

В этой статье вы сможете узнать:

• при каких условиях возникают максимумы и минимумы интерференции света;
• как работает дифракционная решётка и какая формула описывает положение дифракционных максимумов;
• как найти длину волны света по известным параметрам опыта.

Интерференция света

Интерференция — это явление наложения когерентных световых волн (волн с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз), при котором в одних точках пространства волны усиливают друг друга, а в других — ослабляют. Результат интерференции зависит от разности хода лучей $\Delta$ — разности расстояний, пройденных волнами от источников до точки наблюдения.

Условие максимума интерференции

Максимум (усиление света) наблюдается там, где разность хода волн равна целому числу длин волн:

$\Delta = k\lambda, \quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

Условие минимума интерференции

Минимум (ослабление света) наблюдается там, где разность хода волн равна нечётному числу полуволн:

$\Delta = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2}, \quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

Опыт Юнга (интерференция от двух щелей)

В классическом опыте Юнга свет проходит через две узкие щели, расположенные на расстоянии $d$ друг от друга, и создаёт на экране, находящемся на расстоянии $L$ от щелей ($L\gg d$), чередующиеся полосы максимумов и минимумов. Координата $k$-го максимума на экране (при малых углах):

$x_k = k\dfrac{\lambda L}{d}$

Пример. Расстояние между щелями 0,2 мм, расстояние до экрана 2 м, длина волны света 500 нм. Найдите расстояние между соседними максимумами интерференции.

Расстояние между соседними максимумами равно разности координат $x_{k+1}-x_k=\dfrac{\lambda L}{d}$:

$\Delta x = \dfrac{\lambda L}{d} = \dfrac{500\times10^{-9}\cdot2}{0{,}2\times10^{-3}} = \dfrac{10^{-6}}{2\times10^{-4}} = 5\times10^{-3} \text{ м} = 5 \text{ мм}$

Дифракция света

Дифракция — это явление отклонения света от прямолинейного распространения при прохождении через препятствия или узкие отверстия, соизмеримые с длиной волны. Дифракция наблюдается тем сильнее, чем ближе размер препятствия (или щели) к длине волны света.

Дифракционная решётка

Дифракционная решётка — это система большого числа параллельных щелей, разделённых равными промежутками. Расстояние между соседними щелями называется периодом решётки $d$.

Формула дифракционной решётки определяет углы $\varphi$, под которыми наблюдаются главные максимумы дифракции:

$d\sin\varphi = k\lambda, \quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

где $k$ — порядок максимума.

Пример. Дифракционная решётка с периодом $2\times10^{-6}$ м освещается светом с длиной волны 600 нм. Найдите угол, под которым наблюдается максимум первого порядка.

$\sin\varphi = \dfrac{k\lambda}{d} = \dfrac{1\cdot600\times10^{-9}}{2\times10^{-6}} = \dfrac{6\times10^{-7}}{2\times10^{-6}} = 0{,}3$

Угол $\varphi = \arcsin(0{,}3) \approx 17{,}5°$.

Нахождение периода решётки по известному углу дифракции

Если известны угол максимума определённого порядка и длина волны, можно найти период решётки:

$d = \dfrac{k\lambda}{\sin\varphi}$

Пример. Максимум второго порядка для света с длиной волны 500 нм наблюдается под углом, синус которого равен 0,4. Найдите период решётки.

$d = \dfrac{k\lambda}{\sin\varphi} = \dfrac{2\cdot500\times10^{-9}}{0{,}4} = \dfrac{10^{-6}}{0{,}4} = 2{,}5\times10^{-6} \text{ м}$

Алгоритм решения задач на интерференцию и дифракцию

1. Определите, о каком явлении идёт речь: интерференция от двух источников (щелей) или дифракция на решётке.
2. Для задач на интерференцию (опыт Юнга) используйте формулу координаты максимума $x_k=k\dfrac{\lambda L}{d}$ или условие максимума/минимума через разность хода.
3. Для задач на дифракционную решётку используйте основную формулу $d\sin\varphi=k\lambda$.
4. Определите, какая величина неизвестна (длина волны, период решётки, порядок максимума, угол), и выразите её из формулы.
5. Проверьте, что найденное значение синуса угла не превышает 1 — иначе максимум такого порядка физически не наблюдается.

Примеры решения

Пример 1. Дифракционная решётка с периодом $5\times10^{-6}$ м освещается светом с длиной волны 700 нм. Найдите максимальный порядок дифракционного максимума, который можно наблюдать.

Из формулы $d\sin\varphi=k\lambda$ следует, что $\sin\varphi=\dfrac{k\lambda}{d}\leq1$, то есть:

$k \leq \dfrac{d}{\lambda} = \dfrac{5\times10^{-6}}{700\times10^{-9}} = \dfrac{5\times10^{-6}}{7\times10^{-7}} \approx 7{,}14$

Так как порядок максимума должен быть целым числом, максимальный порядок равен 7.

Ответ: 7-й порядок.

Пример 2. В опыте Юнга расстояние между щелями равно 0,1 мм, расстояние до экрана — 1,5 м. Максимум третьего порядка наблюдается на расстоянии 15 мм от центрального максимума. Найдите длину волны света.

$x_k = k\dfrac{\lambda L}{d} \Rightarrow \lambda = \dfrac{x_kd}{kL} = \dfrac{15\times10^{-3}\cdot0{,}1\times10^{-3}}{3\cdot1{,}5} = \dfrac{1{,}5\times10^{-6}}{4{,}5} \approx 3{,}33\times10^{-7} \text{ м} = 333 \text{ нм}$

Ответ: примерно 333 нм.

Пример 3. Найдите угол дифракции для максимума первого порядка на решётке с периодом $4\times10^{-6}$ м, если длина волны света равна 400 нм.

$\sin\varphi = \dfrac{k\lambda}{d} = \dfrac{1\cdot400\times10^{-9}}{4\times10^{-6}} = \dfrac{4\times10^{-7}}{4\times10^{-6}} = 0{,}1$

Ответ: $\varphi=\arcsin(0{,}1)\approx5{,}7°$.

Часто задаваемые вопросы

Почему для наблюдения интерференции нужны именно когерентные источники света? Потому что устойчивая картина чередующихся максимумов и минимумов возможна только при постоянной во времени разности фаз между волнами — если источники некогерентны (частоты или фазы волн случайно меняются), картина интерференции быстро «размывается» и усредняется, становясь незаметной для глаза или прибора.

Почему при увеличении порядка максимума k угол дифракции тоже увеличивается? Согласно формуле $d\sin\varphi=k\lambda$, синус угла прямо пропорционален порядку максимума — чем больше порядок, тем больше требуемая разность хода волн от соседних щелей ($k\lambda$), а значит, тем больше должен быть угол отклонения, чтобы обеспечить эту разность хода.

Что произойдёт с интерференционной картиной, если увеличить расстояние между щелями в опыте Юнга? Согласно формуле $x_k=k\dfrac{\lambda L}{d}$, расстояние между соседними максимумами обратно пропорционально расстоянию между щелями — при увеличении $d$ полосы интерференции становятся уже (сближаются), а при уменьшении $d$ — шире (раздвигаются).

Почему существует ограничение на максимальный порядок дифракционного максимума? Потому что синус угла не может быть больше единицы — если для данного порядка $k$ вычисленное значение $\dfrac{k\lambda}{d}$ превышает 1, максимум такого порядка физически не может образоваться, так как для этого потребовался бы угол дифракции больше 90°.

Похожие темы для изучения

• Геометрическая оптика: линзы и зеркала
• Фотоэффект и корпускулярно-волновой дуализм
• Механические колебания и волны
• Электромагнитная индукция

Задачи для самостоятельного решения

1. Расстояние между щелями в опыте Юнга равно 0,15 мм, расстояние до экрана — 2,5 м, длина волны света — 600 нм. Найдите расстояние между соседними максимумами.
2. Дифракционная решётка с периодом $3\times10^{-6}$ м освещается светом с длиной волны 500 нм. Найдите угол дифракции для максимума второго порядка.
3. Найдите максимальный порядок дифракционного максимума для решётки с периодом $4\times10^{-6}$ м и длины волны света 650 нм.
4. Период дифракционной решётки неизвестен. Максимум первого порядка для света с длиной волны 550 нм наблюдается под углом, синус которого равен 0,275. Найдите период решётки.
5. В опыте Юнга максимум второго порядка наблюдается на расстоянии 8 мм от центрального максимума при расстоянии между щелями 0,2 мм и расстоянии до экрана 2 м. Найдите длину волны света.
6. Объясните, почему при освещении дифракционной решётки белым светом дифракционные максимумы разных порядков (кроме центрального) окрашены в радужные цвета.