Тригонометрическая окружность

В этой статье вы сможете узнать:

• что такое тригонометрическая окружность и зачем она нужна;
• как с её помощью найти синус, косинус и тангенс любого угла;
• как быстро определить знак тригонометрической функции в зависимости от четверти.

Тригонометрическая окружность

Тригонометрическая окружность (единичная окружность) — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Она нужна, чтобы находить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не только для острых углов прямоугольного треугольника, но и для любых углов — больше 90°, отрицательных и любых по величине.

Как устроена окружность

Отсчёт углов начинается от точки (1; 0) — она соответствует углу 0°. Движение против часовой стрелки считается положительным направлением (углы получаются положительными), движение по часовой стрелке — отрицательным.

Для любого угла α, отложенного от точки (1; 0), координаты точки на окружности устроены так:

• x-координата точки равна cos α;
• y-координата точки равна sin α;
• $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (не определён, если cos α = 0);
• $\mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (не определён, если sin α = 0).

Знаки функций по четвертям

Окружность делится на четыре четверти, и в каждой из них синус, косинус и тангенс имеют свой знак:

• I четверть (0°–90°): sin +, cos +, tg +, ctg +;
• II четверть (90°–180°): sin +, cos −, tg −, ctg −;
• III четверть (180°–270°): sin −, cos −, tg +, ctg +;
• IV четверть (270°–360°): sin −, cos +, tg −, ctg −.

Простое правило: тангенс положителен там же, где совпадают знаки синуса и косинуса (I и III четверти), и отрицателен там, где их знаки различаются (II и IV четверти).

Как пользоваться окружностью: алгоритм

1. Отметьте на окружности угол, откладывая его от точки (1; 0) — против часовой стрелки для положительного угла, по часовой — для отрицательного.
2. Определите, в какой четверти оказалась точка, и заранее отметьте ожидаемые знаки синуса и косинуса.
3. Найдите координаты точки: x — это косинус угла, y — это синус угла.
4. Если нужен тангенс или котангенс, разделите синус на косинус (или наоборот) — либо используйте табличное значение, если угол стандартный.
5. Для углов больше 360° или отрицательных углов меньше −360° сначала «сверните» угол в диапазон от 0° до 360°, вычитая или прибавляя 360° нужное количество раз — значения функций от этого не изменятся, так как период sin и cos равен 360°.

Значения синуса и косинуса для стандартных углов в радианах

Ниже — та же окружность, но со всеми стандартными углами, которые чаще всего встречаются в задачах: они отмечены в радианах, а рядом с каждой точкой указаны координаты (cos α; sin α).

Тригонометрическая окружность со всеми стандартными углами в радианах и значениями синуса и косинуса

Примеры решения

Пример 1. Найдите sin 150° и cos 150°.

150° лежит во второй четверти (90°–180°), значит sin положителен, cos отрицателен. Угол 150° = 180° − 30°, поэтому используем связь с табличным углом 30°: sin 150° = sin 30° = 1/2, cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

Ответ: sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2.

Пример 2. Определите знак cos 200°.

200° лежит в третьей четверти (180°–270°), где косинус отрицателен.

Ответ: cos 200° < 0.

Пример 3. Найдите tg 225°.

225° лежит в третьей четверти, тангенс там положителен. 225° = 180° + 45°, табличное значение для 45°: tg 45° = 1, а в третьей четверти тангенс сохраняет знак и значение по модулю (так как и синус, и косинус одновременно меняют знак). Получаем tg 225° = tg 45° = 1.

Ответ: tg 225° = 1.

Часто задаваемые вопросы

Зачем нужна тригонометрическая окружность, если есть таблица значений? Таблица содержит значения только для нескольких стандартных углов. Окружность позволяет находить значения для любых углов, определять их знаки и понимать связи между углами (например, почему sin 150° равен sin 30°), а не просто заучивать отдельные числа.

Как быстро запомнить знаки по четвертям? Удобно запомнить, что в первой четверти всё положительно, а дальше при движении против часовой стрелки положительным по очереди остаётся только синус (II четверть), затем только тангенс с котангенсом (III четверть), затем только косинус (IV четверть).

Можно ли использовать окружность для отрицательных углов? Да, отрицательный угол откладывается по часовой стрелке от точки (1; 0) — правило работы с координатами и знаками остаётся тем же.

Как работать с окружностью в радианах, а не в градусах? Принцип тот же самый — полная окружность соответствует 2π радиан вместо 360°, четверти делятся точками π/2, π, 3π/2 и 2π вместо 90°, 180°, 270° и 360°.

Похожие темы для изучения

• Синус, косинус, тангенс, котангенс — определения и таблица значений
• Основное тригонометрическое тождество
• Формулы приведения
• Графики синуса, косинуса и тангенса

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите знак sin 250°.
2. Найдите cos 120°.
3. Найдите tg 300°.
4. Определите, в какой четверти лежит угол 470°, и укажите знак его косинуса.
5. Найдите sin(−210°).
6. Определите знак произведения sin 100° · cos 100°.