Статика: условия равновесия тел, момент силы

В этой статье вы сможете узнать:

какие два условия должны выполняться, чтобы твёрдое тело находилось в равновесии;
что такое момент силы и от чего зависит его величина;
как применять правило моментов для решения задач на рычаг и равновесие.

Первое условие равновесия

Первое условие равновесия твёрдого тела: векторная сумма всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю — иначе тело получит ускорение согласно второму закону Ньютона:

$\sum \vec{F}_i = 0$

Это условие обеспечивает отсутствие поступательного движения (тело не начнёт двигаться как целое).

Момент силы

Момент силы — это величина, характеризующая вращающее действие силы относительно некоторой оси (точки) вращения. Момент силы вычисляется как произведение модуля силы на плечо силы:

$M = F d$

где $d$ — плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (перпендикуляр, опущенный из точки вращения на линию действия силы).

Момент силы считается положительным, если он стремится повернуть тело против часовой стрелки, и отрицательным — если по часовой стрелке (или наоборот, в зависимости от выбранного соглашения о знаках).

Пример. Сила 20 Н приложена перпендикулярно рычагу на расстоянии 0,5 м от оси вращения. Найдите момент силы.

$M = Fd = 20\cdot0{,}5 = 10 \text{ Н·м}$

Второе условие равновесия (правило моментов)

Второе условие равновесия твёрдого тела: сумма моментов всех сил относительно любой оси должна быть равна нулю — иначе тело получит угловое ускорение и начнёт вращаться:

$\sum M_i = 0$

На практике это означает, что сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки:

$\sum M_{\text{по ч.с.}} = \sum M_{\text{против ч.с.}}$

Правило рычага

Простейшее применение правила моментов — равновесие рычага с двумя силами, приложенными по разные стороны от оси вращения:

$F_1 d_1 = F_2 d_2$

где $d_1$ и $d_2$ — плечи соответствующих сил.

Пример. На рычаге с осью вращения посередине на расстоянии 1 м от оси приложена сила 30 Н. На каком расстоянии от оси с другой стороны нужно приложить силу 15 Н, чтобы рычаг был в равновесии?

$F_1d_1 = F_2d_2 \Rightarrow d_2 = \dfrac{F_1d_1}{F_2} = \dfrac{30\cdot1}{15} = 2 \text{ м}$

Центр тяжести и устойчивость равновесия

Центр тяжести тела — это точка приложения равнодействующей сил тяжести всех частиц тела. Для однородных симметричных тел центр тяжести совпадает с геометрическим центром. Равновесие тела считается устойчивым, если при небольшом отклонении тело возвращается в исходное положение (центр тяжести при этом поднимается), и неустойчивым — если тело продолжает удаляться от положения равновесия (центр тяжести при этом опускается).

Алгоритм решения задач на статику

Определите все силы, действующие на тело, и точку (ось), относительно которой удобно рассматривать моменты.
Запишите первое условие равновесия: сумма всех сил (в проекциях на выбранные оси) равна нулю.
Определите плечо каждой силы относительно выбранной оси вращения — перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы.
Запишите второе условие равновесия: сумма моментов сил по часовой стрелке равна сумме моментов сил против часовой стрелки.
Решите полученную систему уравнений относительно искомой величины (силы, расстояния, угла).

Примеры решения

Пример 1. Однородная балка длиной 4 м лежит на двух опорах по краям. В центре балки стоит груз весом 200 Н. Найдите силы реакции каждой опоры (масса самой балки пренебрежимо мала).

По симметрии груз находится посередине между опорами, поэтому обе опоры воспринимают одинаковую нагрузку:

$N_1 = N_2 = \dfrac{200}{2} = 100 \text{ Н}$

Ответ: по 100 Н на каждую опору.

Пример 2. Рычаг находится в равновесии, если сила 40 Н приложена на расстоянии 0,3 м от оси с одной стороны, а сила $F$ — на расстоянии 0,6 м с другой стороны. Найдите силу $F$ .

$F_1d_1 = Fd_2 \Rightarrow F = \dfrac{F_1d_1}{d_2} = \dfrac{40\cdot0{,}3}{0{,}6} = \dfrac{12}{0{,}6} = 20 \text{ Н}$

Ответ: 20 Н.

Пример 3. К вертикальному столбу приложена горизонтальная сила 50 Н на высоте 2 м от основания. Найдите момент этой силы относительно основания столба.

Плечо силы равно расстоянию от основания до точки приложения силы (сила перпендикулярна столбу): $d=2$ м.

$M = Fd = 50\cdot2 = 100 \text{ Н·м}$

Ответ: 100 Н·м.

Часто задаваемые вопросы

Почему момента силы недостаточно для описания всех случаев равновесия? Потому что условие равенства нулю суммы моментов гарантирует отсутствие вращения тела, но не гарантирует отсутствие его поступательного движения — поэтому для полного описания равновесия твёрдого тела нужны оба условия: равенство нулю суммы сил и равенство нулю суммы моментов сил.

Как определить плечо силы, если сила приложена не перпендикулярно рычагу? Нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы, — если сила направлена под углом $\alpha$ к рычагу длиной $l$ , плечо силы равно $l\sin\alpha$ , а момент силы вычисляется как $M=Fl\sin\alpha$ .

Зависит ли равновесие тела от выбора оси, относительно которой считаются моменты? Нет, если тело действительно находится в равновесии (сумма сил равна нулю), то сумма моментов относительно любой оси также будет равна нулю — поэтому для удобства вычислений можно выбирать ось вращения там, где это упрощает расчёты, например, в точке приложения одной из неизвестных сил.

Почему устойчивость равновесия связана с положением центра тяжести? Потому что при отклонении тела от положения равновесия сила тяжести создаёт момент, который либо возвращает тело обратно (если центр тяжести при отклонении поднимается — устойчивое равновесие), либо уводит его ещё дальше от исходного положения (если центр тяжести опускается — неустойчивое равновесие).

Задачи для самостоятельного решения

Сила 25 Н приложена перпендикулярно рычагу на расстоянии 0,4 м от оси вращения. Найдите момент этой силы.
Рычаг находится в равновесии: сила 60 Н приложена на расстоянии 0,2 м от оси, сила $F$ — на расстоянии 0,4 м с другой стороны. Найдите $F$ .
Однородная балка длиной 6 м лежит на двух опорах по краям, груз весом 300 Н расположен на расстоянии 2 м от левой опоры. Найдите силы реакции обеих опор.
К двери приложена сила 40 Н перпендикулярно её плоскости на расстоянии 0,8 м от петель. Найдите момент этой силы относительно петель.
Определите, при каком расстоянии от оси нужно приложить силу 10 Н, чтобы уравновесить момент силы 50 Н, приложенной на расстоянии 0,5 м с другой стороны.
Объясните, почему у тела с широким основанием устойчивость равновесия обычно выше, чем у тела с узким основанием той же высоты.