Системы счисления: перевод чисел между системами

В этой статье вы сможете узнать:

• чем позиционная система счисления отличается от непозиционной;
• как переводить числа из десятичной системы в другую и обратно;
• как быстро переводить числа между системами с кратными основаниями (двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной).

Что такое позиционная система счисления

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её позиции (разряда) в записи числа. Число в системе с основанием $q$ записывается как сумма произведений цифр на степени основания:

$a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0 = a_n \cdot q^n + a_{n-1} \cdot q^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot q^1 + a_0 \cdot q^0$

Например, число $101101_2$ в двоичной системе означает:

$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45$

Перевод из любой системы в десятичную

Чтобы перевести число в десятичную систему, нужно расписать его по разрядам, умножить каждую цифру на основание системы в соответствующей степени и сложить результаты — как показано в примере выше.

$1A_{16} = 1 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 = 16 + 10 = 26_{10}$

(здесь цифра A в шестнадцатеричной системе соответствует числу 10)

Перевод из десятичной системы в любую другую

Число переводится делением на основание новой системы с последовательной записью остатков, начиная с последнего:

Перевести $45_{10}$ в двоичную систему:

$45 \div 2 = 22 \text{ (остаток } 1\text{)}$ $22 \div 2 = 11 \text{ (остаток } 0\text{)}$ $11 \div 2 = 5 \text{ (остаток } 1\text{)}$ $5 \div 2 = 2 \text{ (остаток } 1\text{)}$ $2 \div 2 = 1 \text{ (остаток } 0\text{)}$ $1 \div 2 = 0 \text{ (остаток } 1\text{)}$

Записываем остатки снизу вверх (от последнего к первому): $45_{10} = 101101_2$.

Прямой перевод между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами

Основания 8 и 16 являются степенями двойки ($8 = 2^3$, $16 = 2^4$), поэтому между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами можно переводить напрямую, без промежуточного перехода через десятичную систему.

Из двоичной в восьмеричную: разбейте двоичное число на группы по 3 цифры справа налево (при необходимости дополнив нулями слева) и замените каждую группу соответствующей восьмеричной цифрой.

Из двоичной в шестнадцатеричную: разбейте на группы по 4 цифры справа налево и замените каждую группу шестнадцатеричной цифрой.

Пример: переведите $101101_2$ в восьмеричную систему.

Разбиваем на группы по 3: $101 \; 101 \to 5 \; 5$

Ответ: $101101_2 = 55_8$

Пример: переведите $101101_2$ в шестнадцатеричную систему.

Разбиваем на группы по 4 справа налево, дополняя слева нулями: $0010 \; 1101 \to 2 \; D$

Ответ: $101101_2 = 2D_{16}$

Обратный перевод (из восьмеричной или шестнадцатеричной в двоичную) выполняется заменой каждой цифры на соответствующую группу из 3 или 4 двоичных цифр.

Таблица соответствия цифр

Алгоритм перевода чисел

1. Определите исходную и целевую системы счисления.
2. Если перевод происходит из любой системы в десятичную — распишите число по степеням основания и сложите результаты.
3. Если перевод происходит из десятичной в любую другую — делите число на основание новой системы, записывая остатки, до тех пор пока частное не станет равно нулю, а затем прочитайте остатки снизу вверх.
4. Если обе системы (кроме десятичной) имеют основание, являющееся степенью двойки, — используйте прямой перевод через группы двоичных цифр без перехода через десятичную систему.
5. Проверьте результат обратным переводом, если есть время.

Примеры решения

Пример 1. Переведите число $37_{10}$ в двоичную систему.

$37 \div 2 = 18$ (ост. 1), $18 \div 2 = 9$ (ост. 0), $9 \div 2 = 4$ (ост. 1), $4 \div 2 = 2$ (ост. 0), $2 \div 2 = 1$ (ост. 0), $1 \div 2 = 0$ (ост. 1).

Ответ: $37_{10} = 100101_2$.

Пример 2. Переведите число $2D_{16}$ в десятичную систему.

$2D_{16} = 2 \cdot 16^1 + 13 \cdot 16^0 = 32 + 13 = 45$.

Ответ: $2D_{16} = 45_{10}$.

Пример 3. Переведите число $110111_2$ в шестнадцатеричную систему.

Разбиваем на группы по 4 справа налево: $0011 \; 0111 \to 3 \; 7$.

Ответ: $110111_2 = 37_{16}$.

Часто задаваемые вопросы

Почему для перевода между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами не нужно переходить через десятичную? Потому что основания 8 и 16 являются степенями числа 2 ($8=2^3$, $16=2^4$), поэтому каждая цифра восьмеричной или шестнадцатеричной системы однозначно соответствует фиксированной группе двоичных разрядов — это позволяет переводить числа напрямую, группируя цифры.

Что делать, если при разбиении на группы по 3 или 4 цифры не хватает? Нужно дополнить двоичное число незначащими нулями слева до тех пор, пока общее количество цифр не станет кратным 3 (для восьмеричной системы) или 4 (для шестнадцатеричной) — эти нули не влияют на значение числа.

Как быстро проверить правильность перевода? Стоит перевести полученный результат обратно в исходную систему счисления (например, через десятичную) и сравнить с первоначальным числом — если они совпадают, перевод выполнен верно.

Нужно ли запоминать шестнадцатеричные буквенные цифры A–F наизусть? Да, поскольку в шестнадцатеричной системе используются 16 цифр (0–9 и буквы A–F, обозначающие числа от 10 до 15), знание этого соответствия необходимо для быстрого перевода без постоянного обращения к таблице.

Похожие темы для изучения

• Арифметические операции в позиционных системах счисления
• Кодирование и измерение информации
• Логические операции и таблицы истинности
• Электронные таблицы: формулы и функции

Задачи для самостоятельного решения

1. Переведите число $58_{10}$ в двоичную систему.
2. Переведите число $1F_{16}$ в десятичную систему.
3. Переведите число $101110_2$ в восьмеричную систему.
4. Переведите число $746_8$ в двоичную систему.
5. Переведите число $89_{10}$ в шестнадцатеричную систему.
6. Объясните, почему число $11111111_2$ равно $FF_{16}$, не выполняя перевод через десятичную систему.