Синус, косинус, тангенс, котангенс — определения и таблица значений

В этой статье вы сможете узнать:

• как определяются синус, косинус, тангенс и котангенс;
• какие значения они принимают для стандартных углов;
• как эти четыре функции связаны между собой.

Определение через прямоугольный треугольник

Для острого угла α в прямоугольном треугольнике синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через отношения сторон:

• sin α = противолежащий катет / гипотенуза;
• cos α = прилежащий катет / гипотенуза;
• tg α = противолежащий катет / прилежащий катет;
• ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет.

Такое определение работает только для острых углов — от 0° до 90°, то есть для углов, которые реально могут встретиться в прямоугольном треугольнике.

Определение через тригонометрическую окружность

Чтобы находить значения функций для любых углов — тупых, отрицательных, больше 360°, — используют тригонометрическую окружность. Если точка на единичной окружности соответствует углу α, то:

• cos α — это x-координата точки;
• sin α — это y-координата точки;
• $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$;
• $\mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Подробный разбор того, как пользоваться окружностью и определять знаки функций по четвертям, — в статье «Тригонометрическая окружность».

Как связаны функции между собой

Из определений следует несколько важных связей:

• $\mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha = 1$ — тангенс и котангенс всегда взаимно обратны;
• $\mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{1}{\mathrm{tg}\,\alpha}$;
• sin²α + cos²α = 1 — основное тригонометрическое тождество (подробнее — в отдельной статье).

Тангенс не определён там, где cos α = 0 (то есть при 90°, 270° и им подобных углах), а котангенс не определён там, где sin α = 0 (то есть при 0°, 180°, 360°).

Таблица значений для стандартных углов

Эти же значения удобно увидеть на тригонометрической окружности — рядом с каждым углом в радианах на осях отмечены соответствующие значения синуса и косинуса:

Как запомнить таблицу синуса и косинуса

Для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° значения синуса подчиняются простому паттерну: это корни из 0, 1, 2, 3, 4, делённые на 2 — то есть √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, что после упрощения даёт 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Для косинуса та же последовательность значений идёт в обратном порядке — от 1 до 0. Значения тангенса при этом можно получить, разделив синус на косинус для соответствующего угла, не запоминая их отдельно.

Примеры решения

Пример 1. Найдите tg 60°, используя таблицу.

По таблице sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2. Тогда tg 60° = sin 60° / cos 60° = (√3/2) / (1/2) = √3.

Ответ: tg 60° = √3.

Пример 2. Найдите sin 45°, cos 45° и tg 45°.

По таблице sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2. Так как sin 45° = cos 45°, tg 45° = 1.

Ответ: sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tg 45° = 1.

Пример 3. Найдите ctg 30°.

По таблице ctg 30° = √3 (это же можно получить как cos 30° / sin 30° = (√3/2) / (1/2) = √3).

Ответ: ctg 30° = √3.

Часто задаваемые вопросы

Почему тангенс не определён при 90°? Потому что tg α = sin α / cos α, а cos 90° = 0 — деление на ноль невозможно, поэтому в этой точке тангенс не существует.

Можно ли использовать эту таблицу для тупых и отрицательных углов? Напрямую таблица содержит только значения для углов от 0° до 90° (плюс несколько опорных точек до 360°). Для остальных углов нужно свести их к табличным через тригонометрическую окружность и формулы приведения, учитывая знак в нужной четверти.

В чём разница между тангенсом и котангенсом? Тангенс — это отношение синуса к косинусу, котангенс — обратное отношение, косинуса к синусу. Они всегда взаимно обратны: tg α · ctg α = 1.

Как быстро проверить, не ошибся ли я в таблице значений? Можно свериться с основным тригонометрическим тождеством: возведите синус и косинус угла в квадрат и сложите — должна получиться единица.

Похожие темы для изучения

• Тригонометрическая окружность
• Основное тригонометрическое тождество
• Область определения и значений тригонометрических функций
• Формулы приведения

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите sin 30° · cos 60°.
2. Найдите значение выражения tg 45° + ctg 45°.
3. Вычислите sin²60° + cos²60°.
4. Найдите tg 30° · ctg 30°.
5. Найдите cos 0° − sin 90°.
6. Докажите, что tg 60° · cos 60° = sin 60°.