Силы в механике: тяжести, упругости, трения

В этой статье вы сможете узнать:

• чем сила тяжести отличается от веса тела;
• как закон Гука описывает силу упругости деформированной пружины;
• как найти силу трения покоя и силу трения скольжения.

Сила тяжести

Сила тяжести — это сила притяжения тела к Земле, вычисляемая по формуле:

$F_{\text{тяж}} = mg$

где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения (обычно $g \approx 9{,}8$ м/с², в задачах часто округляют до $10$ м/с²).

Вес тела

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие притяжения к Земле. Вес численно равен силе тяжести только тогда, когда тело и опора неподвижны или движутся равномерно (без ускорения):

$P = mg \quad (\text{при } a=0)$

Если опора (например, лифт) движется с ускорением, вес отличается от силы тяжести:

$P = m(g + a) \quad (\text{ускорение направлено вверх})$ $P = m(g - a) \quad (\text{ускорение направлено вниз})$

Пример. Лифт с человеком массой 70 кг движется вверх с ускорением 2 м/с². Найдите вес человека ($g=10$ м/с²).

$P = m(g+a) = 70 \cdot (10+2) = 70 \cdot 12 = 840 \text{ Н}$

Сила упругости и закон Гука

Сила упругости возникает при деформации тела (сжатии или растяжении пружины, изгибе стержня) и по закону Гука пропорциональна величине деформации:

$F_{\text{упр}} = k x$

где $k$ — жёсткость пружины (в Н/м), $x$ — величина деформации (удлинение или сжатие, в метрах). Сила упругости направлена противоположно деформации, стремясь вернуть тело в исходное состояние.

Пример. Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 5 см. Найдите силу упругости.

$F_{\text{упр}} = kx = 200 \cdot 0{,}05 = 10 \text{ Н}$

Сила трения покоя

Сила трения покоя действует между соприкасающимися неподвижными относительно друг друга поверхностями и препятствует началу относительного скольжения. Она может принимать любое значение от 0 до некоторого максимального, определяемого условиями задачи (обычно равного максимальной силе трения скольжения), и по модулю равна той внешней силе, которая стремится сдвинуть тело, пока тело остаётся неподвижным.

Сила трения скольжения

Сила трения скольжения возникает при относительном движении соприкасающихся поверхностей и вычисляется по формуле:

$F_{\text{тр}} = \mu N$

где $\mu$ — коэффициент трения скольжения (безразмерная величина, зависящая от материалов поверхностей), $N$ — сила нормальной реакции опоры.

Пример. Брусок массой 2 кг лежит на горизонтальной поверхности, коэффициент трения скольжения равен 0,3. Найдите силу трения скольжения при движении бруска ($g=10$ м/с²).

Сила реакции опоры уравновешивает силу тяжести (поверхность горизонтальна): $N=mg=2\cdot10=20$ Н.

$F_{\text{тр}} = \mu N = 0{,}3 \cdot 20 = 6 \text{ Н}$

Силы на наклонной плоскости

На теле, находящемся на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$, силу тяжести удобно раскладывать на две составляющие: вдоль плоскости ($mg\sin\alpha$) и перпендикулярно плоскости ($mg\cos\alpha$). Сила реакции опоры уравновешивает перпендикулярную составляющую: $N=mg\cos\alpha$, а сила трения скольжения при движении вдоль плоскости равна $F_{\text{тр}}=\mu mg\cos\alpha$.

Алгоритм решения задач с силами

1. Определите все тела и силы, действующие на каждое из них: тяжести, упругости, трения, реакции опоры, натяжения нити.
2. Изобразите силы на чертеже и выберите систему координат, удобную для данной задачи (например, вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей).
3. Для силы тяжести используйте формулу $F=mg$; для силы упругости — закон Гука $F=kx$; для силы трения скольжения — формулу $F_{\text{тр}}=\mu N$.
4. Найдите силу реакции опоры $N$ из условия равновесия тела в направлении, перпендикулярном движению (или перпендикулярном поверхности).
5. Запишите второй закон Ньютона в проекциях и найдите искомую величину.

Примеры решения

Пример 1. Пружина жёсткостью 150 Н/м сжата так, что сила упругости равна 30 Н. Найдите величину сжатия пружины.

$x = \dfrac{F_{\text{упр}}}{k} = \dfrac{30}{150} = 0{,}2 \text{ м} = 20 \text{ см}$

Ответ: 20 см.

Пример 2. Тело массой 5 кг находится на наклонной плоскости с углом наклона $30°$, коэффициент трения скольжения равен 0,2. Найдите силу трения скольжения ($g=10$ м/с², $\cos30°\approx0{,}87$).

$N = mg\cos\alpha = 5\cdot10\cdot0{,}87 = 43{,}5 \text{ Н}$ $F_{\text{тр}} = \mu N = 0{,}2\cdot43{,}5 = 8{,}7 \text{ Н}$

Ответ: примерно 8,7 Н.

Пример 3. Лифт с грузом массой 50 кг движется вниз с ускорением 1 м/с². Найдите вес груза ($g=10$ м/с²).

Поскольку ускорение направлено вниз (в ту же сторону, что и сила тяжести), вес меньше силы тяжести:

$P = m(g-a) = 50\cdot(10-1) = 50\cdot9 = 450 \text{ Н}$

Ответ: 450 Н.

Часто задаваемые вопросы

Почему вес тела иногда отличается от силы тяжести, хотя обе силы вычисляются через массу? Потому что сила тяжести — это сила притяжения Земли, всегда равная $mg$ независимо от движения тела, а вес — это сила давления тела на опору, которая зависит от ускорения опоры: если опора (например, лифт) движется с ускорением, вес увеличивается или уменьшается по сравнению с силой тяжести в зависимости от направления этого ускорения.

Как определить максимальную силу трения покоя? На практике максимальная сила трения покоя принимается равной силе трения скольжения ($\mu N$) — пока внешняя сила, приложенная к телу, меньше этого значения, тело остаётся неподвижным, а сила трения покоя в точности равна приложенной силе.

Почему сила реакции опоры на наклонной плоскости не равна полному весу тела? Потому что на наклонной плоскости сила тяжести раскладывается на две составляющие — вдоль плоскости и перпендикулярно ей, и именно перпендикулярная составляющая ($mg\cos\alpha$), а не полная сила тяжести, уравновешивается силой реакции опоры.

От чего зависит коэффициент трения скольжения? Коэффициент трения скольжения зависит от материалов соприкасающихся поверхностей и степени их шероховатости, но не зависит от площади соприкосновения и (в первом приближении) от скорости относительного движения тел.

Похожие темы для изучения

• Динамика: законы Ньютона
• Закон сохранения импульса
• Статика: условия равновесия тел, момент силы
• Работа, мощность, механическая энергия

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите силу тяжести, действующую на тело массой 8 кг ($g=10$ м/с²).
2. Пружина жёсткостью 100 Н/м растянута на 8 см. Найдите силу упругости.
3. Брусок массой 3 кг лежит на горизонтальной поверхности, коэффициент трения скольжения равен 0,25. Найдите силу трения при движении бруска ($g=10$ м/с²).
4. Лифт с пассажиром массой 60 кг движется вверх с ускорением 3 м/с². Найдите вес пассажира ($g=10$ м/с²).
5. Тело находится на наклонной плоскости с углом 45°. Найдите составляющую силы тяжести вдоль плоскости, если масса тела 4 кг ($g=10$ м/с², $\sin45°\approx0{,}71$).
6. Объясните, почему при свободном падении (без сопротивления воздуха) вес тела равен нулю, хотя сила тяжести на него действует.