Работа, мощность, механическая энергия

В этой статье вы сможете узнать:

как вычислить работу постоянной силы и когда работа отрицательна;
как связаны мощность, работа и скорость;
как применять закон сохранения механической энергии для решения задач.

Работа силы

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении тела вычисляется по формуле:

$A = F s \cos\alpha$

где $F$ — модуль силы, $s$ — модуль перемещения, $\alpha$ — угол между направлением силы и направлением перемещения.

Если сила направлена по движению ( $\alpha=0$ ), работа положительна и равна $A=Fs$ . Если сила направлена против движения ( $\alpha=180°$ ), работа отрицательна: $A=-Fs$ . Если сила перпендикулярна перемещению ( $\alpha=90°$ ), работа равна нулю.

Пример. Сила 20 Н, направленная под углом 60° к перемещению, действует на тело, которое сместилось на 5 м. Найдите работу силы ( $\cos60°=0{,}5$ ).

$A = Fs\cos\alpha = 20\cdot5\cdot0{,}5 = 50 \text{ Дж}$

Мощность

Мощность — это работа, совершённая за единицу времени:

$N = \dfrac{A}{t}$

Если сила и скорость постоянны и направлены вдоль движения, мощность можно выразить через скорость:

$N = Fv$

Пример. Автомобиль движется с постоянной скоростью 20 м/с, сила тяги двигателя равна 2000 Н. Найдите мощность двигателя.

$N = Fv = 2000\cdot20 = 40\,000 \text{ Вт} = 40 \text{ кВт}$

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия тела массой $m$ , движущегося со скоростью $v$ :

$E_k = \dfrac{mv^2}{2}$

Теорема о кинетической энергии

Работа равнодействующей силы, действующей на тело, равна изменению его кинетической энергии:

$A = \Delta E_k = \dfrac{mv^2}{2} - \dfrac{mv_0^2}{2}$

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия тела, поднятого над Землёй (на высоте $h$ , при условии, что нулевой уровень выбран у поверхности):

$E_p = mgh$

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины (при деформации $x$ ):

$E_p = \dfrac{kx^2}{2}$

Закон сохранения механической энергии

Если на систему действуют только консервативные силы (тяжести, упругости), то есть отсутствует трение и другие силы сопротивления, полная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной энергий) остаётся постоянной:

$E_k + E_p = \text{const}$

Пример. Тело массой 2 кг падает без начальной скорости с высоты 5 м. Найдите скорость тела у поверхности земли, используя закон сохранения энергии ( $g=10$ м/с²).

На высоте: $E_k=0$ , $E_p=mgh=2\cdot10\cdot5=100$ Дж.

У земли: $E_p=0$ , вся энергия перешла в кинетическую: $E_k=\dfrac{mv^2}{2}=100$ Дж.

$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot100}{m}} = \sqrt{\dfrac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10 \text{ м/с}$

Если действует сила трения

Если помимо консервативных сил действует сила трения (неконсервативная сила), полная механическая энергия не сохраняется — часть её переходит в тепло. В этом случае применяется обобщённая теорема о работе-энергии:

$A_{\text{тр}} = (E_{k2}+E_{p2}) - (E_{k1}+E_{p1})$

где $A_{\text{тр}}$ — работа силы трения (отрицательная величина, так как трение всегда направлено против движения).

Алгоритм решения задач на работу и энергию

Определите, какие силы действуют на тело: консервативные (тяжести, упругости) и неконсервативные (трение, сопротивление).
Если все силы консервативны — используйте закон сохранения механической энергии: $E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$ .
Если присутствует трение — используйте обобщённую формулу с учётом работы силы трения: разница полной энергии в двух состояниях равна работе силы трения.
Для нахождения работы отдельной силы используйте формулу $A=Fs\cos\alpha$ или теорему о кинетической энергии $A=\Delta E_k$ .
Для нахождения мощности разделите работу на время или используйте формулу $N=Fv$ при постоянной скорости.

Примеры решения

Пример 1. Тело массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с. Найдите его кинетическую энергию.

$E_k = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{3\cdot16}{2} = \dfrac{48}{2} = 24 \text{ Дж}$

Ответ: 24 Дж.

Пример 2. Кран поднимает груз массой 200 кг на высоту 10 м за 20 секунд с постоянной скоростью. Найдите мощность крана ( $g=10$ м/с²).

Работа против силы тяжести: $A=mgh=200\cdot10\cdot10=20\,000$ Дж.

$N = \dfrac{A}{t} = \dfrac{20\,000}{20} = 1000 \text{ Вт} = 1 \text{ кВт}$

Ответ: 1 кВт.

Пример 3. Шар массой 1 кг брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какую максимальную высоту он поднимется, если сопротивлением воздуха пренебречь ( $g=10$ м/с²)?

В начальный момент вся энергия кинетическая: $E_k=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{1\cdot400}{2}=200$ Дж.

В верхней точке скорость равна нулю, вся энергия потенциальная: $E_p=mgh=200$ Дж.

$h = \dfrac{200}{mg} = \dfrac{200}{1\cdot10} = 20 \text{ м}$

Ответ: 20 м.

Часто задаваемые вопросы

Почему работа силы может быть отрицательной? Работа отрицательна, если угол между направлением силы и направлением перемещения тупой (больше 90°) — то есть сила имеет составляющую, направленную против движения; классический пример — работа силы трения, которая всегда отрицательна, так как трение направлено против скорости тела.

Чем мощность отличается от работы? Работа — это мера действия силы на пройденном пути, а мощность показывает, как быстро эта работа совершается, то есть работу, приходящуюся на единицу времени; одна и та же работа может быть совершена с разной мощностью в зависимости от времени, за которое она выполнена.

Когда можно использовать закон сохранения механической энергии, а когда нельзя? Закон сохранения механической энергии можно использовать только тогда, когда на тело действуют исключительно консервативные силы (тяжести, упругости) без трения и сопротивления среды — если присутствует трение, часть механической энергии необратимо переходит в тепло, и нужно использовать обобщённую формулу с учётом работы силы трения.

Как связаны работа и изменение кинетической энергии? Согласно теореме о кинетической энергии, работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии — это удобный способ находить работу или конечную скорость тела, не вычисляя отдельно работу каждой силы, если известны начальная и конечная скорости.

Задачи для самостоятельного решения

Найдите работу силы 15 Н, направленной вдоль перемещения тела на 8 м.
Тело массой 4 кг движется со скоростью 5 м/с. Найдите его кинетическую энергию.
Груз массой 50 кг поднимают на высоту 4 м за 10 секунд с постоянной скоростью. Найдите мощность подъёмного механизма ( $g=10$ м/с²).
Тело массой 2 кг падает с высоты 20 м без начальной скорости. Найдите его скорость у земли ( $g=10$ м/с², без учёта сопротивления воздуха).
Пружина жёсткостью 100 Н/м сжата на 10 см. Найдите потенциальную энергию сжатой пружины.
Объясните, почему при наличии силы трения между двумя точками траектории полная механическая энергия тела в конечной точке меньше, чем в начальной.