Простейшие логарифмические уравнения

В этой статье вы сможете узнать:

• как решать уравнения вида $\log_a f(x) = b$ и $\log_a f(x) = \log_a g(x)$;
• что такое потенцирование и зачем оно нужно;
• как не потерять и не «приобрести» лишние корни при решении.

Два основных вида простейших логарифмических уравнений

Первый вид — логарифм равен числу:

$\log_a f(x) = b$

Второй вид — логарифмы с одинаковым основанием равны друг другу:

$\log_a f(x) = \log_a g(x)$

Оба вида решаются одним и тем же приёмом — потенцированием, то есть переходом от равенства логарифмов к равенству выражений под ними.

Потенцирование

Для уравнения $\log_a f(x) = b$. Поскольку логарифмическая функция строго монотонна (а значит, принимает каждое значение только один раз), это уравнение равносильно:

$f(x) = a^b$

Дополнительно проверять условие $f(x)>0$ отдельно не нужно: раз $a>0$, то $a^b$ автоматически положительно при любом $b$, так что после потенцирования это условие выполняется само собой.

Для уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Так как у логарифмов одно и то же основание, равенство самих логарифмов равносильно равенству их аргументов при условии, что хотя бы один из аргументов положителен:

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

Проверять положительность нужно только для одного из двух выражений — если $f(x) = g(x)$ и один из них положителен, то и второй автоматически положителен.

Алгоритм решения

1. Приведите уравнение к одному из двух стандартных видов — при необходимости используя свойства логарифмов (например, объединив сумму логарифмов в один).
2. Запишите ОДЗ уравнения: положительность аргумента (аргументов), а если основание переменное — ещё условия на основание.
3. Выполните потенцирование — перейдите к уравнению без логарифмов.
4. Решите получившееся алгебраическое уравнение.
5. Проверьте каждый найденный корень на соответствие ОДЗ и отбросьте посторонние корни.

В каких заданиях ЕГЭ встречаются такие уравнения

Профильный уровень. Простейшие логарифмические уравнения — тема задания 6, где нужно решить уравнение вида $\log_a f(x) = b$ напрямую. Тот же приём потенцирования — обязательный первый шаг в более сложных логарифмических уравнениях задания 13.

Примеры решения

Пример 1. Решите уравнение $\log_2(x-1) = 3$.

ОДЗ: $x-1>0$, то есть $x>1$.

Потенцируем: $x-1 = 2^3 = 8$, откуда $x=9$.

Проверка по ОДЗ: $9>1$ — подходит.

Ответ: $x=9$.

Пример 2. Решите уравнение $\log_3(x+2) = \log_3(2x-1)$.

ОДЗ: $x+2>0$ и $2x-1>0$, то есть $x>-2$ и $x>0{,}5$ — вместе $x>0{,}5$.

Потенцируем: $x+2 = 2x-1$, откуда $x=3$.

Проверка по ОДЗ: $3>0{,}5$ — подходит.

Ответ: $x=3$.

Пример 3. Решите уравнение $\log_5(x^2-x-1) = 0$.

ОДЗ: $x^2-x-1>0$.

Потенцируем: $x^2-x-1 = 5^0 = 1$, то есть $x^2-x-2=0$. По теореме Виета корни: $x=2$ и $x=-1$.

Проверка по ОДЗ: при $x=2$: $4-2-1=1>0$ — подходит. При $x=-1$: $1+1-1=1>0$ — подходит.

Ответ: $x=2$, $x=-1$.

Часто задаваемые вопросы

Почему при потенцировании уравнения $\log_a f(x) = b$ не нужно отдельно проверять ОДЗ? Потому что правая часть после потенцирования — это $a^b$, а любая степень положительного числа $a$ всегда положительна, так что условие $f(x)>0$ выполняется автоматически при любом корне, полученном из уравнения $f(x)=a^b$.

Что будет, если забыть проверить ОДЗ в уравнении $\log_a f(x) = \log_a g(x)$? Можно получить посторонний корень — потенцирование даёт уравнение $f(x)=g(x)$, но не гарантирует, что в этой точке выражения под логарифмом действительно положительны, поэтому такую проверку нельзя пропускать.

Можно ли решать уравнение, если основания логарифмов разные? Нет, метод потенцирования в этом виде работает только для логарифмов с одинаковым основанием — если основания разные, сначала нужно привести их к одному основанию через формулу перехода.

Как отличить, какой вид уравнения перед вами? Если в правой части стоит число — это первый вид ($\log_a f(x)=b$); если в правой части тоже логарифм с тем же основанием — это второй вид ($\log_a f(x)=\log_a g(x)$).

Похожие темы для изучения

• Что такое логарифм — определение и основные понятия
• Формулы логарифмов
• Область допустимых значений в выражениях с логарифмом
• Логарифмические уравнения с заменой переменной

Задачи для самостоятельного решения

1. Решите уравнение $\log_4(x+3) = 2$.
2. Решите уравнение $\log_2(3x-1) = \log_2(x+5)$.
3. Решите уравнение $\log_5(x^2+3x) = 1$.
4. Решите уравнение $\log_{0{,}5}(x-4) = -1$.
5. Решите уравнение $\lg(x^2-9) = \lg(2x-3)$.
6. Решите уравнение $\log_3(x^2-2x) = 1$.