Постоянный ток: закон Ома, соединения проводников

В этой статье вы сможете узнать:

как формулируется закон Ома для участка цепи и для полной цепи;
чем последовательное соединение проводников отличается от параллельного;
как найти работу и мощность электрического тока.

Сила тока, напряжение, сопротивление

Сила тока $I$ — количество заряда, проходящего через поперечное сечение проводника за единицу времени, измеряется в амперах (А).

Напряжение $U$ — разность потенциалов на концах участка цепи, измеряется в вольтах (В).

Сопротивление $R$ — характеристика проводника, зависящая от его материала, длины и площади поперечного сечения, измеряется в омах (Ом).

Закон Ома для участка цепи

$I = \dfrac{U}{R} \quad \Leftrightarrow \quad U = IR$

Пример. Напряжение на резисторе сопротивлением 20 Ом равно 10 В. Найдите силу тока через резистор.

$I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5 \text{ А}$

Сопротивление проводника

Сопротивление однородного проводника зависит от его материала (удельного сопротивления $\rho$ ), длины $l$ и площади поперечного сечения $S$ :

$R = \rho\dfrac{l}{S}$

Последовательное соединение проводников

При последовательном соединении сила тока одинакова во всех участках цепи, а общее сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных проводников:

$I = I_1 = I_2 = \ldots = I_n, \qquad R_{\text{общ}} = R_1+R_2+\ldots+R_n$

Общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных участках:

$U = U_1+U_2+\ldots+U_n$

Пример. Два резистора по 5 Ом и 10 Ом соединены последовательно. Найдите общее сопротивление цепи.

$R_{\text{общ}} = R_1+R_2 = 5+10 = 15 \text{ Ом}$

Параллельное соединение проводников

При параллельном соединении напряжение одинаково на всех параллельных участках, а величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям отдельных проводников:

$U = U_1 = U_2 = \ldots = U_n, \qquad \dfrac{1}{R_{\text{общ}}} = \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\ldots+\dfrac{1}{R_n}$

Общая сила тока равна сумме токов через отдельные участки:

$I = I_1+I_2+\ldots+I_n$

Для двух резисторов формула упрощается:

$R_{\text{общ}} = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

Пример. Два резистора по 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно. Найдите общее сопротивление цепи.

$R_{\text{общ}} = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2} = \dfrac{6\cdot3}{6+3} = \dfrac{18}{9} = 2 \text{ Ом}$

Закон Ома для полной цепи

Для цепи с источником тока с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ , подключённым к внешнему сопротивлению $R$ :

$I = \dfrac{\varepsilon}{R+r}$

Пример. Источник тока с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Найдите силу тока в цепи.

$I = \dfrac{\varepsilon}{R+r} = \dfrac{12}{5+1} = \dfrac{12}{6} = 2 \text{ А}$

Работа и мощность электрического тока

Работа электрического тока на участке цепи:

$A = UIt = I^2Rt = \dfrac{U^2}{R}t$

Мощность электрического тока:

$P = UI = I^2R = \dfrac{U^2}{R}$

Пример. Найдите мощность резистора сопротивлением 10 Ом, через который протекает ток силой 2 А.

$P = I^2R = 2^2\cdot10 = 40 \text{ Вт}$

Алгоритм решения задач на электрические цепи

Определите тип соединения проводников в цепи: последовательное, параллельное или смешанное.
Для последовательного соединения найдите общее сопротивление как сумму отдельных сопротивлений; ток одинаков на всех участках.
Для параллельного соединения найдите общее сопротивление через сумму обратных величин; напряжение одинаково на всех участках.
Если в цепи есть источник тока с внутренним сопротивлением, используйте закон Ома для полной цепи: $I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}$ .
Для нахождения работы и мощности тока используйте формулы $A=UIt$ и $P=UI=I^2R=\dfrac{U^2}{R}$ , выбирая ту форму, которая содержит известные величины.

Примеры решения

Пример 1. Резистор сопротивлением 15 Ом подключён к источнику напряжением 30 В. Найдите силу тока через резистор.

$I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{30}{15} = 2 \text{ А}$

Ответ: 2 А.

Пример 2. Три резистора по 4 Ом каждый соединены параллельно. Найдите общее сопротивление цепи.

$\dfrac{1}{R_{\text{общ}}} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow R_{\text{общ}} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33 \text{ Ом}$

Ответ: примерно 1,33 Ом.

Пример 3. Источник тока с ЭДС 10 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом подключён к резистору 4,5 Ом. Найдите мощность, выделяемую на внешнем резисторе.

$I = \dfrac{\varepsilon}{R+r} = \dfrac{10}{4{,}5+0{,}5} = \dfrac{10}{5} = 2 \text{ А}$ $P = I^2R = 2^2\cdot4{,}5 = 18 \text{ Вт}$

Ответ: 18 Вт.

Часто задаваемые вопросы

Почему при последовательном соединении сила тока одинакова на всех участках? Потому что при последовательном соединении через все элементы цепи проходит один и тот же электрический заряд за одно и то же время (заряд не может «накапливаться» или «исчезать» в проводнике) — поэтому сила тока, определяемая как заряд, проходящий через сечение проводника за единицу времени, одинакова на всех последовательно соединённых участках.

Почему при параллельном соединении общее сопротивление меньше сопротивления каждого отдельного резистора? Потому что при параллельном соединении ток получает несколько независимых путей для прохождения — это равносильно увеличению эффективной площади поперечного сечения проводника, что уменьшает общее сопротивление цепи по сравнению с сопротивлением любого из отдельных резисторов.

Зачем нужен закон Ома для полной цепи, если есть закон Ома для участка цепи? Закон Ома для участка цепи не учитывает внутреннее сопротивление источника тока, которое всегда присутствует у реальных батарей и генераторов; закон Ома для полной цепи учитывает падение напряжения не только на внешнем сопротивлении, но и внутри самого источника, что важно для точных расчётов силы тока в замкнутой цепи.

Какую формулу мощности тока лучше использовать, если неизвестно напряжение? Если известны сила тока и сопротивление, удобнее использовать формулу $P=I^2R$ ; если известны напряжение и сопротивление — формулу $P=\dfrac{U^2}{R}$ ; выбор формулы зависит от того, какие величины даны в условии конкретной задачи.

Задачи для самостоятельного решения

Резистор сопротивлением 25 Ом подключён к напряжению 100 В. Найдите силу тока через резистор.
Два резистора по 8 Ом и 12 Ом соединены последовательно. Найдите общее сопротивление цепи.
Два резистора по 10 Ом и 15 Ом соединены параллельно. Найдите общее сопротивление цепи.
Источник тока с ЭДС 15 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору 4 Ом. Найдите силу тока в цепи.
Найдите мощность резистора сопротивлением 5 Ом, через который протекает ток силой 3 А.
Объясните, почему при коротком замыкании (внешнее сопротивление стремится к нулю) сила тока в цепи ограничена именно внутренним сопротивлением источника.