Первый закон термодинамики и КПД тепловых машин

В этой статье вы сможете узнать:

• как формулируется первый закон термодинамики и что означает каждое слагаемое в нём;
• как найти работу газа в разных изопроцессах;
• как вычислить КПД тепловой машины и максимально возможный КПД по циклу Карно.

Внутренняя энергия идеального газа

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа равна суммарной кинетической энергии теплового движения всех его молекул и зависит только от температуры и количества вещества:

$U = \dfrac{3}{2}\nu RT$

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от изменения температуры:

$\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$

Работа газа

Работа, совершаемая газом при расширении (или сжатии), равна произведению давления на изменение объёма (для изобарного процесса):

$A_{\text{газа}} = p\Delta V = p(V_2-V_1)$

Если газ расширяется ($V_2>V_1$), он совершает положительную работу; если сжимается ($V_2<V_1$), работа газа отрицательна. При изохорном процессе ($V=\text{const}$) работа газа равна нулю, так как объём не меняется.

Пример. Газ при постоянном давлении $2\times10^5$ Па расширяется от объёма 2 л до 5 л. Найдите работу газа.

$A = p\Delta V = 2\times10^5\cdot(5-2)\times10^{-3} = 2\times10^5\cdot3\times10^{-3} = 600 \text{ Дж}$

Первый закон термодинамики

Первый закон термодинамики — это закон сохранения энергии применительно к тепловым процессам: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение его внутренней энергии и на совершение газом работы:

$Q = \Delta U + A_{\text{газа}}$

Если теплота отводится от газа (газ охлаждается), $Q$ отрицательно; если работа совершается над газом (газ сжимают), $A_{\text{газа}}$ отрицательно.

Пример. Газу передано количество теплоты 1000 Дж, при этом газ совершил работу 400 Дж. Найдите изменение внутренней энергии газа.

$\Delta U = Q - A_{\text{газа}} = 1000 - 400 = 600 \text{ Дж}$

Первый закон термодинамики для разных изопроцессов

Изохорный процесс ($V=\text{const}$, $A_{\text{газа}}=0$): вся переданная теплота идёт на изменение внутренней энергии:

$Q = \Delta U$

Изотермический процесс ($T=\text{const}$, $\Delta U=0$, так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры): вся переданная теплота идёт на совершение работы:

$Q = A_{\text{газа}}$

Адиабатный процесс (теплообмен с окружающей средой отсутствует, $Q=0$): работа газа совершается только за счёт изменения внутренней энергии:

$A_{\text{газа}} = -\Delta U$

Тепловые машины и КПД

Тепловая машина за один цикл получает от нагревателя количество теплоты $Q_1$, часть этой энергии превращает в полезную работу $A$, а оставшуюся часть $Q_2$ отдаёт холодильнику. Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины:

$\eta = \dfrac{A}{Q_1} = \dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1}$

Пример. Тепловая машина за цикл получает от нагревателя 500 Дж теплоты и отдаёт холодильнику 300 Дж. Найдите КПД машины.

$\eta = \dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1} = \dfrac{500-300}{500} = \dfrac{200}{500} = 0{,}4 = 40\%$

Максимальный КПД (цикл Карно)

Максимально возможный КПД тепловой машины, работающей между нагревателем с температурой $T_1$ и холодильником с температурой $T_2$ (в кельвинах), определяется циклом Карно и не зависит от конкретного рабочего вещества:

$\eta_{\max} = \dfrac{T_1-T_2}{T_1}$

Пример. Найдите максимально возможный КПД тепловой машины, работающей между температурами нагревателя 500 К и холодильника 300 К.

$\eta_{\max} = \dfrac{T_1-T_2}{T_1} = \dfrac{500-300}{500} = \dfrac{200}{500} = 0{,}4 = 40\%$

Реальный КПД любой тепловой машины всегда меньше или равен идеальному КПД цикла Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника.

Алгоритм решения задач на термодинамику

1. Определите тип процесса (изохорный, изобарный, изотермический, адиабатный) и запишите первый закон термодинамики для этого случая.
2. Если нужно найти работу газа при изобарном процессе, используйте формулу $A=p\Delta V$; при изохорном процессе работа равна нулю.
3. Найдите изменение внутренней энергии по формуле $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$, если известно изменение температуры.
4. Если задача касается тепловой машины, используйте формулу КПД $\eta=\dfrac{A}{Q_1}=\dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1}$.
5. Для нахождения максимально возможного КПД используйте формулу цикла Карно $\eta_{\max}=\dfrac{T_1-T_2}{T_1}$, подставляя температуры в кельвинах.

Примеры решения

Пример 1. Газ получает 800 Дж теплоты при постоянном объёме. Найдите изменение внутренней энергии газа.

Поскольку объём постоянен, работа газа равна нулю, и вся теплота идёт на изменение внутренней энергии:

$\Delta U = Q = 800 \text{ Дж}$

Ответ: 800 Дж.

Пример 2. Тепловая машина имеет КПД 25% и за цикл получает от нагревателя 2000 Дж теплоты. Найдите полезную работу машины и количество теплоты, отданное холодильнику.

$A = \eta Q_1 = 0{,}25\cdot2000 = 500 \text{ Дж}$ $Q_2 = Q_1 - A = 2000-500 = 1500 \text{ Дж}$

Ответ: работа 500 Дж, теплота, отданная холодильнику, — 1500 Дж.

Пример 3. Тепловая машина работает между нагревателем с температурой 227°C и холодильником с температурой 27°C. Найдите максимально возможный КПД.

Переводим температуры в кельвины: $T_1=227+273=500$ К, $T_2=27+273=300$ К.

$\eta_{\max} = \dfrac{T_1-T_2}{T_1} = \dfrac{500-300}{500} = 0{,}4 = 40\%$

Ответ: 40%.

Часто задаваемые вопросы

Почему при изотермическом процессе вся полученная газом теплота идёт на совершение работы, а не на изменение внутренней энергии? Потому что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, а при изотермическом процессе температура не меняется — значит, изменение внутренней энергии равно нулю, и вся переданная теплота по первому закону термодинамики полностью превращается в работу газа.

Может ли КПД тепловой машины быть равен 100%? Нет, согласно циклу Карно КПД всегда меньше 100%, если температура холодильника больше абсолютного нуля ($T_2>0$) — часть полученной от нагревателя теплоты всегда обязательно передаётся холодильнику, и полностью превратить теплоту в работу невозможно.

Почему реальный КПД тепловой машины всегда меньше идеального КПД цикла Карно? Потому что цикл Карно описывает идеальный, обратимый процесс без потерь на трение, теплопроводность и другие необратимые явления — реальные тепловые машины всегда имеют дополнительные потери энергии, поэтому их КПД оказывается меньше теоретического максимума, соответствующего тем же температурам нагревателя и холодильника.

Как определить знак работы газа в задаче? Если газ расширяется ($\Delta V>0$), он совершает положительную работу над окружающими телами; если газ сжимается внешними силами ($\Delta V<0$), работа самого газа отрицательна, а положительную работу в этом случае совершают внешние силы над газом.

Похожие темы для изучения

• Основы МКТ и уравнение состояния идеального газа
• Газовые законы (изопроцессы)
• Работа, мощность, механическая энергия
• Механические колебания и волны

Задачи для самостоятельного решения

1. Газ при постоянном давлении $1{,}5\times10^5$ Па расширяется от объёма 3 л до 6 л. Найдите работу газа.
2. Газу передано 1200 Дж теплоты, при этом его внутренняя энергия увеличилась на 700 Дж. Найдите работу, совершённую газом.
3. Тепловая машина за цикл получает от нагревателя 1500 Дж и отдаёт холодильнику 900 Дж. Найдите КПД машины.
4. Найдите максимально возможный КПД тепловой машины, работающей между температурами 400 К и 250 К.
5. Газ адиабатно расширяется, совершая работу 300 Дж. Найдите изменение его внутренней энергии.
6. Объясните, почему увеличение разности температур между нагревателем и холодильником увеличивает максимально возможный КПД тепловой машины.