Основы МКТ и уравнение состояния идеального газа

В этой статье вы сможете узнать:

• какие основные положения лежат в основе молекулярно-кинетической теории;
• как связаны давление, температура и средняя кинетическая энергия молекул газа;
• как использовать уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона).

Основные положения МКТ

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) строится на трёх основных положениях: вещество состоит из частиц (атомов и молекул); эти частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом движении); частицы взаимодействуют друг с другом (притягиваются и отталкиваются в зависимости от расстояния между ними).

Количество вещества и постоянная Авогадро

Количество вещества $\nu$ измеряется в молях и связано с числом частиц $N$ и постоянной Авогадро $N_A\approx6{,}02\times10^{23}$ моль⁻¹:

$\nu = \dfrac{N}{N_A} = \dfrac{m}{M}$

где $m$ — масса вещества, $M$ — молярная масса.

Основное уравнение МКТ идеального газа

Основное уравнение МКТ связывает давление газа со средней кинетической энергией поступательного движения молекул:

$p = \dfrac{2}{3} n \overline{E_k}$

где $n$ — концентрация молекул (число молекул в единице объёма), $\overline{E_k}$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

Температура и средняя кинетическая энергия молекул

Абсолютная температура газа прямо пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения молекул:

$\overline{E_k} = \dfrac{3}{2}kT$

где $k\approx1{,}38\times10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура в кельвинах.

Пример. Найдите среднюю кинетическую энергию молекул газа при температуре 300 К.

$\overline{E_k} = \dfrac{3}{2}kT = \dfrac{3}{2}\cdot1{,}38\times10^{-23}\cdot300 \approx 6{,}21\times10^{-21} \text{ Дж}$

Связь шкалы Цельсия и шкалы Кельвина

$T(\text{К}) = t(°\text{C}) + 273$

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)

Уравнение, связывающее давление, объём, количество вещества и температуру идеального газа:

$pV = \nu RT = \dfrac{m}{M}RT$

где $R\approx8{,}31$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная.

Пример. Найдите давление газа, если 2 моля газа занимают объём 0,05 м³ при температуре 300 К.

$p = \dfrac{\nu RT}{V} = \dfrac{2\cdot8{,}31\cdot300}{0{,}05} = \dfrac{4986}{0{,}05} = 99\,720 \text{ Па} \approx 99{,}7 \text{ кПа}$

Связь давления, концентрации молекул и температуры

Комбинируя основное уравнение МКТ и связь температуры со средней кинетической энергией, получаем ещё одну полезную форму уравнения состояния газа:

$p = nkT$

Алгоритм решения задач на МКТ и уравнение состояния газа

1. Определите, какие величины даны в задаче: давление, объём, температура, количество вещества, масса или молярная масса газа.
2. Если нужно найти количество вещества, используйте формулу $\nu=\dfrac{m}{M}$ или $\nu=\dfrac{N}{N_A}$.
3. Если заданы три из четырёх величин $p$, $V$, $\nu$ (или $m$, $M$), $T$, используйте уравнение Менделеева-Клапейрона $pV=\nu RT$ для нахождения четвёртой.
4. Если задача касается средней кинетической энергии молекул или концентрации, используйте формулы $\overline{E_k}=\dfrac{3}{2}kT$ и $p=nkT$.
5. Убедитесь, что температура выражена в кельвинах, а не в градусах Цельсия, прежде чем подставлять её в формулы.

Примеры решения

Пример 1. Найдите количество вещества кислорода массой 64 г (молярная масса кислорода $M=32$ г/моль).

$\nu = \dfrac{m}{M} = \dfrac{64}{32} = 2 \text{ моль}$

Ответ: 2 моль.

Пример 2. Газ занимает объём 0,02 м³ при давлении $2\times10^5$ Па и температуре 400 К. Найдите количество вещества газа.

$\nu = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{2\times10^5\cdot0{,}02}{8{,}31\cdot400} = \dfrac{4000}{3324} \approx 1{,}2 \text{ моль}$

Ответ: примерно 1,2 моль.

Пример 3. Температуру газа повысили с 27°C до 127°C при неизменном объёме. Во сколько раз изменилось давление газа?

Переводим температуры в кельвины: $T_1=27+273=300$ К, $T_2=127+273=400$ К.

При постоянном объёме давление прямо пропорционально абсолютной температуре (следует из уравнения состояния при $V,\nu=\text{const}$):

$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{400}{300} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$

Ответ: давление увеличилось примерно в 1,33 раза.

Часто задаваемые вопросы

Почему температуру в формулах МКТ и уравнении состояния газа всегда нужно выражать в кельвинах? Потому что эти формулы (например, $\overline{E_k}=\dfrac{3}{2}kT$ и $pV=\nu RT$) основаны на прямой пропорциональности между температурой и энергией или между температурой и произведением давления на объём — эта пропорциональность верна только для абсолютной температурной шкалы, отсчитываемой от абсолютного нуля, а не для шкалы Цельсия, у которой ноль выбран произвольно.

В чём разница между постоянной Авогадро и постоянной Больцмана? Постоянная Авогадро $N_A$ показывает, сколько частиц содержится в одном моле вещества, а постоянная Больцмана $k$ связывает температуру с энергией отдельной молекулы — эти константы связаны соотношением $R=kN_A$, где $R$ — универсальная газовая постоянная.

Как понять, какую форму уравнения состояния газа использовать — через количество вещества или через концентрацию молекул? Если в задаче даны макроскопические величины (масса газа, молярная масса, объём сосуда) — удобнее использовать уравнение Менделеева-Клапейрона $pV=\nu RT$; если задача касается микроскопических характеристик (концентрация молекул, средняя энергия одной молекулы) — удобнее использовать формулу $p=nkT$.

Что произойдёт с давлением газа, если увеличить температуру при постоянном объёме? Согласно уравнению состояния газа, при постоянном объёме и неизменном количестве вещества давление прямо пропорционально абсолютной температуре — при увеличении температуры давление газа тоже увеличивается пропорционально.

Похожие темы для изучения

• Газовые законы (изопроцессы)
• Первый закон термодинамики и КПД тепловых машин
• Механические колебания и волны
• Работа, мощность, механическая энергия

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите количество вещества азота массой 56 г (молярная масса азота $M=28$ г/моль).
2. Газ находится при температуре 350 К. Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения его молекул.
3. Газ занимает объём 0,01 м³ при давлении $3\times10^5$ Па и содержит 1,5 моль вещества. Найдите температуру газа.
4. Температуру газа повысили с 0°C до 100°C при постоянном давлении. Во сколько раз изменился объём газа?
5. Найдите давление газа с концентрацией молекул $2\times10^{25}$ м⁻³ при температуре 300 К.
6. Объясните, почему при нагревании газа в закрытом жёстком сосуде увеличивается именно давление, а не объём.