Основное тригонометрическое тождество

В этой статье вы сможете узнать:

• что такое основное тригонометрическое тождество и почему оно верно;
• как найти синус угла, зная его косинус (и наоборот);
• какие ещё формулы следуют из основного тождества.

Формулировка

Для любого угла α верно равенство:

sin²α + cos²α = 1.

Это соотношение выполняется для абсолютно любого угла — острого, тупого, отрицательного, больше 360° — без исключений.

Почему это верно

Через тригонометрическую окружность. Точка с координатами (cos α; sin α) по определению лежит на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение такой окружности — x² + y² = 1. Подставив x = cos α и y = sin α, получаем ровно sin²α + cos²α = 1.

На рисунке видно, что отрезки cos α и sin α — это катеты прямоугольного треугольника, а радиус окружности, равный 1, — его гипотенуза. По теореме Пифагора для этого треугольника (cos α)² + (sin α)² = 1², что и даёт основное тождество.

Через прямоугольный треугольник (для острых углов). Если в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a, b угол α лежит напротив катета a, то sin α = a/c, cos α = b/c. По теореме Пифагора a² + b² = c². Разделим обе части на c²: (a/c)² + (b/c)² = 1, то есть sin²α + cos²α = 1.

Как найти одну функцию через другую

Из основного тождества можно выразить синус через косинус или наоборот:

• $\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$;
• $\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$.

Знак перед корнем выбирается не по формуле, а по тому, в какой четверти находится угол — тождество даёт только модуль значения, а знак нужно определять отдельно, например по тригонометрической окружности.

Следствия основного тождества

Разделив обе части sin²α + cos²α = 1 на cos²α (при условии cos α ≠ 0), получаем:

tg²α + 1 = 1 / cos²α.

Разделив обе части на sin²α (при условии sin α ≠ 0), получаем:

1 + ctg²α = 1 / sin²α.

Эти две формулы удобны, когда в задаче уже известен тангенс или котангенс, а нужно найти синус или косинус, не возвращаясь к самому углу.

Примеры решения

Пример 1. Дано sin α = 3/5, угол α — острый. Найдите cos α.

По основному тождеству cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25. Так как угол острый (первая четверть), косинус положителен: cos α = 4/5.

Ответ: cos α = 4/5.

Пример 2. Дано cos α = −1/3, угол α лежит в третьей четверти. Найдите sin α.

sin²α = 1 − cos²α = 1 − 1/9 = 8/9, значит sin α = ±√(8/9) = ±(2√2)/3. В третьей четверти синус отрицателен, поэтому sin α = −(2√2)/3.

Ответ: sin α = −(2√2)/3.

Пример 3. Упростите выражение sin²x + cos²x + tg x · ctg x (при sin x ≠ 0, cos x ≠ 0).

sin²x + cos²x = 1 по основному тождеству, а tg x · ctg x = 1 по свойству взаимно обратных функций. Получаем 1 + 1 = 2.

Ответ: 2.

Часто задаваемые вопросы

Работает ли тождество для отрицательных углов и углов больше 360°? Да, тождество верно для любого угла без исключения — оно следует из того, что точка на единичной окружности всегда находится на расстоянии 1 от центра, независимо от того, какой угол отложен.

Как понять, какой знак ставить перед корнем при нахождении синуса или косинуса? Тождество даёт только абсолютное значение. Знак определяется по четверти, в которой лежит угол: например, в третьей четверти и синус, и косинус отрицательны, а во второй — синус положителен, а косинус отрицателен.

Зачем нужны формулы tg²α + 1 = 1/cos²α и 1 + ctg²α = 1/sin²α? Они позволяют напрямую связать тангенс или котангенс с косинусом или синусом без промежуточного вычисления самого синуса и косинуса — это часто ускоряет решение уравнений и упрощение выражений.

Можно ли использовать тождество, если известен только тангенс угла? Да — сначала можно найти cos²α = 1/(1 + tg²α), а затем через основное тождество получить sin²α = 1 − cos²α, определив знаки по четверти.

Похожие темы для изучения

• Тригонометрическая окружность
• Синус, косинус, тангенс, котангенс — определения и таблица значений
• Область определения и значений тригонометрических функций
• Формулы двойного угла

Задачи для самостоятельного решения

1. Дано cos α = 5/13, угол α — острый. Найдите sin α.
2. Дано sin α = −0,6, угол α лежит в четвёртой четверти. Найдите cos α.
3. Упростите выражение (1 − sin²x) · (1 + tg²x).
4. Докажите, что (sin α + cos α)² + (sin α − cos α)² = 2.
5. Дано tg α = 3, угол α — острый. Найдите sin α и cos α.
6. Найдите sin²α, если 1 + ctg²α = 4 и угол α лежит во второй четверти.