Обратные тригонометрические функции

В этой статье вы сможете узнать:

что такое arcsin, arccos, arctg и arcctg и как их понимать;
какова область определения и область значений каждой обратной функции;
как вычислять значения обратных тригонометрических функций для табличных углов.

Зачем нужны обратные тригонометрические функции

Обычная тригонометрическая функция отвечает на вопрос «чему равен синус угла x?». Обратная функция решает противоположную задачу: «какой угол имеет синус, равный a?». Проблема в том, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечно много углов (например, $\sin\dfrac{\pi}{6} = \sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ ), поэтому, чтобы обратная функция была именно функцией (то есть каждому значению $a$ соответствовал ровно один угол), для каждой тригонометрической функции выбирают один определённый промежуток углов — на нём функция монотонна и принимает каждое своё значение только один раз.

Определения

Арксинус. $\arcsin a$ — это угол $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ , синус которого равен $a$ . Определён при $a \in [-1; 1]$ .

Арккосинус. $\arccos a$ — это угол $x \in [0; \pi]$ , косинус которого равен $a$ . Определён при $a \in [-1; 1]$ .

Арктангенс. $\mathrm{arctg}\,a$ — это угол $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ , тангенс которого равен $a$ . Определён при любом действительном $a$ .

Арккотангенс. $\mathrm{arcctg}\,a$ — это угол $x \in (0; \pi)$ , котангенс которого равен $a$ . Определён при любом действительном $a$ .

Область определения и значений

Функция	Область определения	Область значений
$\arcsin a$	$[-1; 1]$	$\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$
$\arccos a$	$[-1; 1]$	$[0; \pi]$
$\mathrm{arctg}\,a$	$(-\infty; +\infty)$	$\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$
$\mathrm{arcctg}\,a$	$(-\infty; +\infty)$	$(0; \pi)$

Свойства и тождества

Чётность/нечётность.

$\arcsin(-a) = -\arcsin a$ — арксинус нечётный.

$\mathrm{arctg}(-a) = -\mathrm{arctg}\,a$ — арктангенс нечётный.

$\arccos(-a) = \pi - \arccos a$ — у арккосинуса нет чётности в обычном смысле, но есть это соотношение.

$\mathrm{arcctg}(-a) = \pi - \mathrm{arcctg}\,a$ — аналогичное соотношение для арккотангенса.

Связь пар функций. Для любого $a \in [-1; 1]$ :

$\arcsin a + \arccos a = \dfrac{\pi}{2}$

Для любого действительного $a$ :

$\mathrm{arctg}\,a + \mathrm{arcctg}\,a = \dfrac{\pi}{2}$

Взаимное «уничтожение» функции и обратной к ней.

$\sin(\arcsin a) = a$ при $a \in [-1;1]$ , но $\arcsin(\sin x) = x$ верно только при $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ — для остальных $x$ результат будет другим углом с тем же синусом, но лежащим в этом промежутке.

То же самое верно и для остальных пар: $\cos(\arccos a) = a$ всегда (при допустимом $a$ ), а $\arccos(\cos x) = x$ — только при $x \in [0; \pi]$ .

Алгоритм вычисления

Убедитесь, что значение $a$ входит в область определения нужной функции (для arcsin и arccos — что $|a| \leq 1$ ).
Вспомните, значение какого табличного угла даёт $a$ для соответствующей прямой функции.
Проверьте, что этот угол лежит в нужном промежутке (области значений обратной функции) — если да, это и есть ответ; если нет, нужно найти угол с тем же значением функции, но уже внутри правильного промежутка.
При необходимости используйте свойства нечётности или тождества суммы, чтобы свести вычисление к уже известному табличному значению.

В каких заданиях ЕГЭ встречаются обратные тригонометрические функции

Как отдельная самостоятельная тема обратные тригонометрические функции в ЕГЭ почти не проверяются — вместо этого они появляются как часть записи ответа в других заданиях:

задание 13 (тригонометрическое уравнение) — по той же причине: когда корни уравнения не выражаются через табличные углы, ответ содержит обратную тригонометрическую функцию.

Примеры решения

Пример 1. Вычислите $\arcsin\dfrac{1}{2}$ .

Синус угла $\dfrac{\pi}{6}$ равен $\dfrac{1}{2}$ , и этот угол лежит в промежутке $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Ответ: $\dfrac{\pi}{6}$ .

Пример 2. Вычислите $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Косинус угла $\dfrac{5\pi}{6}$ равен $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , и этот угол лежит в промежутке $[0; \pi]$ .

Ответ: $\dfrac{5\pi}{6}$ .

Пример 3. Проверьте тождество $\arcsin\dfrac{1}{2} + \arccos\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{2}$ .

$\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ , $\arccos\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{3}$ .

$\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$

Тождество подтвердилось.

Часто задаваемые вопросы

Почему для arcsin выбран именно промежуток $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ , а не какой-то другой? На этом промежутке синус монотонно возрастает и принимает каждое значение из $[-1;1]$ ровно один раз — это необходимое условие, чтобы обратное соответствие было функцией, а не многозначным правилом.

Чем отличаются $\arcsin(\sin x)$ и $\sin(\arcsin a)$ ? $\sin(\arcsin a) = a$ выполняется всегда, если $a$ входит в область определения. А $\arcsin(\sin x) = x$ верно только тогда, когда $x$ уже лежит в промежутке $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ — для остальных $x$ нужно сначала привести аргумент к этому промежутку.

Можно ли вычислить arcsin или arccos от значения, которого нет в таблице? Точное значение в радианах или градусах не выражается через привычные дроби с π, но численное приближение всегда можно получить на калькуляторе — просто в ответе ЕГЭ такое значение обычно и оставляют записанным как $\arcsin a$ .

Зачем нужна формула $\arcsin a + \arccos a = \dfrac{\pi}{2}$ ? Она позволяет быстро находить одно значение через другое, не вычисляя оба напрямую, а также часто используется при доказательстве тождеств и упрощении выражений с обратными тригонометрическими функциями.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислите $\arcsin(-1)$ .
Вычислите $\mathrm{arctg}\,1$ .
Вычислите $\arccos 0$ .
Проверьте тождество $\mathrm{arctg}\,\sqrt{3} + \mathrm{arcctg}\,\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{2}$ .
Вычислите $\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .
Чему равно $\arccos(\cos 2\pi)$ ?