Область определения и значений тригонометрических функций

В этой статье вы сможете узнать:

• при каких значениях угла определены синус, косинус, тангенс и котангенс;
• какие значения может принимать каждая из этих функций;
• почему тангенс и котангенс не ограничены, хотя строятся из ограниченных синуса и косинуса.

Синус и косинус

Синус и косинус определены для любого действительного числа (любого угла) — областью определения обеих функций является вся числовая прямая, без исключений.

Множество значений и синуса, и косинуса — отрезок [−1; 1]. Это следует напрямую из определения через тригонометрическую окружность: cos α и sin α — это координаты точки на окружности радиуса 1, а значит, ни та ни другая координата не может по модулю превышать 1.

Тангенс

Тангенс определяется как отношение sin α / cos α, поэтому он не определён там, где cos α = 0 — то есть при α = π/2 + πn (или 90° + 180°n), где n — любое целое число.

Область значений тангенса — вся числовая прямая, (−∞; +∞): при приближении угла к точке, где cos α обращается в ноль, тангенс неограниченно возрастает или убывает по модулю.

Котангенс

Котангенс определяется как cos α / sin α, поэтому он не определён там, где sin α = 0 — то есть при α = πn (или 180°n), где n — любое целое число.

Область значений котангенса, как и у тангенса, — вся числовая прямая, (−∞; +∞).

Почему тангенс и котангенс не ограничены

Синус и косинус ограничены, потому что они — координаты точки на окружности фиксированного радиуса. Тангенс же — это отношение sin α / cos α, а у отношения двух ограниченных величин может не быть верхней или нижней границы, если знаменатель может быть сколь угодно близок к нулю. Когда угол приближается к точке, где cos α → 0, а sin α при этом не равен нулю, дробь sin α / cos α неограниченно растёт по модулю — именно поэтому тангенс принимает любые действительные значения, несмотря на то что построен из ограниченных функций.

Это же видно и геометрически: если провести касательную к окружности в точке A(1; 0) и продолжить радиус до пересечения с этой касательной, длина отрезка от A до точки пересечения как раз и равна tg α.

Чем ближе угол α к 90°, тем ближе точка M к вершине окружности, тем более вертикальным становится луч OM — и тем длиннее отрезок AT, то есть тем больше значение tg α. При α = 90° луч OM параллелен касательной и уже не пересекает её ни в какой конечной точке — поэтому тангенс в этой точке не определён.

Сводная таблица

Примеры решения

Пример 1. Имеет ли уравнение sin x = 1,5 решения?

Область значений синуса — отрезок [−1; 1], а 1,5 в этот отрезок не входит.

Ответ: решений нет.

Пример 2. Найдите область определения функции y = tg(2x).

Тангенс не определён там, где его аргумент равен π/2 + πn. Значит, 2x ≠ π/2 + πn, откуда x ≠ π/4 + πn/2.

Ответ: x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ ℤ.

Пример 3. Найдите область значений функции y = 3 sin x + 1.

Так как sin x ∈ [−1; 1], то 3 sin x ∈ [−3; 3], а 3 sin x + 1 ∈ [−2; 4].

Ответ: y ∈ [−2; 4].

Часто задаваемые вопросы

Может ли синус или косинус равняться, например, 2? Нет, область значений обеих функций ограничена отрезком [−1; 1], поэтому уравнения вида sin x = 2 или cos x = −3 решений не имеют ни при каком x.

Как найти ОДЗ выражения с тангенсом сложного аргумента, например tg(3x − π/6)? Нужно потребовать, чтобы аргумент тангенса не совпадал с точками, где он не определён: 3x − π/6 ≠ π/2 + πn, а затем выразить x из этого условия.

Почему у тангенса и котангенса нет ограничений по значению, а у синуса и косинуса есть? Потому что тангенс и котангенс — это отношения синуса и косинуса, а не сами координаты точки на окружности. Когда знаменатель отношения стремится к нулю, значение дроби может расти неограниченно.

Как область определения влияет на ОДЗ в уравнениях с дробями вида 1/sin x? Здесь добавляется дополнительное ограничение: помимо области определения самого выражения, знаменатель sin x не должен быть равен нулю, то есть x ≠ πn.

Похожие темы для изучения

• Тригонометрическая окружность
• Синус, косинус, тангенс, котангенс — определения и таблица значений
• Графики синуса, косинуса и тангенса
• Основное тригонометрическое тождество

Задачи для самостоятельного решения

1. Имеет ли уравнение cos x = −2 решения? Обоснуйте ответ.
2. Найдите область определения функции y = ctg(x/2).
3. Найдите область значений функции y = 2 cos x − 5.
4. При каких x не определена функция y = tg(x + π/4)?
5. Может ли выражение 4 sin x принимать значение 4,5? Ответ обоснуйте.
6. Найдите область определения функции y = 1 / sin x + tg x.