Область допустимых значений в выражениях с логарифмом

В этой статье вы сможете узнать:

• какие условия нужно проверять при нахождении ОДЗ логарифмического выражения;
• как найти ОДЗ, если основание логарифма — тоже выражение с переменной;
• какие типичные ошибки возникают при упрощении логарифмов по свойствам.

Условия для логарифма с постоянным основанием

Если основание логарифма — конкретное число, единственное условие ОДЗ — положительность аргумента:

$\log_a f(x): \quad f(x) > 0$

Например, для $\log_2(x-3)$ условие ОДЗ — это просто $x-3>0$, то есть $x>3$.

Условия для логарифма с переменным основанием

Если основание логарифма само зависит от $x$, добавляются ещё два условия — на основание:

$\log_{g(x)} f(x): \quad \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$

Все три условия обязательны и проверяются одновременно — ОДЗ такого выражения является пересечением решений всех трёх неравенств/условий.

Типичная ошибка при использовании свойств логарифмов

Формулы логарифма произведения и частного, $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ и $\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$, требуют, чтобы каждый множитель по отдельности был положительным. Если в задаче уже дано выражение $\log_a(xy)$ с единым аргументом, то условие ОДЗ — это $xy > 0$ (произведение положительно, а сами $x$ и $y$ по отдельности могут быть и отрицательными).

Но если применить формулу и «раскрыть» логарифм на сумму $\log_a x + \log_a y$, условие незаметно меняется на более строгое: теперь нужно $x>0$ и $y>0$ по отдельности. Из-за этого при преобразовании выражения можно случайно потерять часть решений (там, где оба множителя отрицательны, а их произведение положительно) — это одна из самых частых ошибок в логарифмических уравнениях и неравенствах.

Алгоритм нахождения ОДЗ

1. Найдите в выражении все логарифмы и выпишите аргумент и основание каждого.
2. Для каждого аргумента запишите условие «больше нуля».
3. Если основание содержит переменную, добавьте условия «основание больше нуля» и «основание не равно единице».
4. Решите получившуюся систему условий и найдите пересечение всех решений — это и есть ОДЗ всего выражения.
5. Если в решении уравнения или неравенства используются свойства логарифмов (разложение произведения или частного на сумму/разность), после этого шага обязательно вернитесь к ОДЗ, найденной именно для исходного выражения, а не для упрощённого.

В каких заданиях ЕГЭ важна ОДЗ логарифмических выражений

Профильный уровень. Проверка ОДЗ — обязательный шаг в первую очередь в двух номерах:

• задание 13 (логарифмическое уравнение) — без учёта ОДЗ можно получить посторонние корни, которые не входят в область определения исходного уравнения;
• задание 15 (логарифмическое неравенство) — ОДЗ здесь особенно важна, потому что итоговый ответ — это пересечение ОДЗ и решения самого неравенства.

Примеры решения

Пример 1. Найдите ОДЗ выражения $\log_5(7-2x)$.

Основание постоянное, поэтому условие только одно: $7-2x>0$, откуда $x<3{,}5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3{,}5)$.

Пример 2. Найдите ОДЗ выражения $\log_{x-1}(5-x)$.

Основание переменное, поэтому нужно три условия, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} 5-x>0 \\ x-1>0 \\ x-1\neq 1 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<5 \\ x>1 \\ x\neq 2 \end{cases}$

Пересечение этих условий: $x \in (1;2)\cup(2;5)$.

Ответ: $x \in (1;2)\cup(2;5)$.

Пример 3. Найдите ОДЗ выражения $\log_3\big((x-2)(x+5)\big)$.

Здесь под логарифмом стоит единое произведение, а не сумма двух логарифмов, поэтому условие — это положительность всего произведения:

$(x-2)(x+5)>0$

Методом интервалов: корни $x=2$ и $x=-5$, произведение положительно при $x<-5$ или $x>2$ (включая случай, когда оба множителя отрицательны).

Ответ: $x \in (-\infty;-5)\cup(2;+\infty)$.

Часто задаваемые вопросы

Почему у логарифма с переменным основанием три условия, а не два? Потому что, помимо положительности аргумента (как и у любого логарифма), само основание тоже должно быть определено как основание степени — то есть быть положительным, и при этом не равным единице, иначе логарифм перестаёт быть корректно определённой функцией.

Можно ли сразу применять формулу логарифма произведения, не проверяя ОДЗ отдельно для каждого множителя? Можно, но только если заранее известно, что оба множителя действительно положительны по отдельности — иначе после разложения на сумму логарифмов область определения может незаметно сузиться, и решение потеряет часть корней.

Нужно ли находить ОДЗ до решения уравнения или после? Правильный порядок — до: сначала находится ОДЗ, затем решается уравнение или неравенство, и только в конце корни или промежуток решения пересекаются с уже найденной ОДЗ.

Что делать, если ОДЗ оказалась пустой? Если система условий ОДЗ не имеет решений, значит, исходное выражение не определено ни при каком $x$, и уравнение или неравенство с таким выражением решений не имеет.

Похожие темы для изучения

• Что такое логарифм — определение и основные понятия
• Формулы логарифмов
• Простейшие логарифмические уравнения
• Простейшие логарифмические неравенства

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите ОДЗ выражения $\log_4(9-x^2)$.
2. Найдите ОДЗ выражения $\log_{x+2}(3-x)$.
3. Найдите ОДЗ выражения $\log_2\big((x-1)(x-6)\big)$.
4. Найдите ОДЗ выражения $\log_{2x-1}(x+4)$.
5. Объясните, почему при переходе от $\log_a(xy)$ к $\log_a x + \log_a y$ может измениться ОДЗ.
6. Найдите ОДЗ выражения $\log_5\dfrac{x-2}{x+3}$.