Механические колебания и волны

В этой статье вы сможете узнать:

как найти период колебаний пружинного и математического маятника;
как связаны амплитуда, период, частота и фаза колебаний;
как связаны длина волны, скорость волны и период (частота) колебаний.

Основные характеристики колебаний

Амплитуда $A$ — максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия.

Период $T$ — время одного полного колебания.

Частота $\nu$ — количество колебаний за одну секунду, обратная периоду величина:

$\nu = \dfrac{1}{T}$

Циклическая (круговая) частота $\omega$ связана с периодом и частотой так же, как и при движении по окружности:

$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$

Уравнение гармонических колебаний

Координата тела, совершающего гармонические колебания, меняется по закону синуса или косинуса:

$x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$

где $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.

Период пружинного маятника

Период колебаний груза массой $m$ на пружине жёсткостью $k$ :

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Обратите внимание: период пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний.

Пример. Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине жёсткостью $\pi^2$ Н/м. Найдите период колебаний.

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{\pi^2}} = 2\pi\cdot\dfrac{\sqrt{0{,}4}}{\pi} = 2\sqrt{0{,}4} \approx 1{,}26 \text{ с}$

Период математического маятника

Период колебаний математического маятника длиной $l$ (при малых углах отклонения):

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$

Период математического маятника также не зависит от амплитуды (при малых углах) и не зависит от массы груза.

Пример. Найдите период колебаний математического маятника длиной 1 м ( $g\approx10$ м/с², принять $\pi^2\approx10$ ).

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{1}{10}} \approx 2\pi\cdot0{,}316 \approx 2 \text{ с}$

(при используемом приближении $\pi^2\approx10$ результат получается ровно 2 с)

Энергия колебаний

Полная механическая энергия колеблющегося тела (без учёта трения) остаётся постоянной и равна максимальной кинетической энергии (в момент прохождения положения равновесия) или максимальной потенциальной энергии (в момент максимального отклонения):

$E = \dfrac{kA^2}{2} = \dfrac{mv_{\max}^2}{2}$

Волны: основные понятия

Волна — это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Длина волны $\lambda$ — расстояние, на которое распространяется волна за время, равное одному периоду колебаний.

Связь длины волны, скорости и периода

$\lambda = vT = \dfrac{v}{\nu}$

где $v$ — скорость распространения волны.

Пример. Волна распространяется со скоростью 340 м/с (скорость звука в воздухе) и имеет частоту 170 Гц. Найдите длину волны.

$\lambda = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{340}{170} = 2 \text{ м}$

Поперечные и продольные волны

Поперечная волна — колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению распространения волны (пример: волны на поверхности воды, электромагнитные волны).

Продольная волна — колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волны (пример: звуковые волны в воздухе, представляющие собой чередование сжатий и разрежений).

Алгоритм решения задач на колебания и волны

Определите тип колебательной системы: пружинный маятник, математический маятник или волновой процесс.
Для пружинного маятника используйте формулу $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ ; для математического маятника — $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ .
Если заданы период или частота, найдите вторую величину по формуле $\nu=\dfrac{1}{T}$ .
Для волновых процессов используйте связь $\lambda=vT=\dfrac{v}{\nu}$ , чтобы найти длину волны, скорость или частоту (период).
Проверьте, какая величина отсутствует в условии задачи, и выразите её из соответствующей формулы.

Примеры решения

Пример 1. Груз на пружине совершает 20 полных колебаний за 10 секунд. Найдите период и частоту колебаний.

$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5 \text{ с}, \qquad \nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \text{ Гц}$

Ответ: период 0,5 с, частота 2 Гц.

Пример 2. Математический маятник имеет период 4 с. Найдите его длину ( $g=10$ м/с², $\pi^2\approx10$ ).

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} \Rightarrow l = \dfrac{T^2g}{4\pi^2} = \dfrac{16\cdot10}{4\cdot10} = \dfrac{160}{40} = 4 \text{ м}$

Ответ: 4 м.

Пример 3. Волна на поверхности воды имеет длину 3 м и распространяется со скоростью 1,5 м/с. Найдите период колебаний частиц воды.

$\lambda = vT \Rightarrow T = \dfrac{\lambda}{v} = \dfrac{3}{1{,}5} = 2 \text{ с}$

Ответ: 2 с.

Часто задаваемые вопросы

Почему период пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний? Это следствие того, что сила упругости прямо пропорциональна смещению (закон Гука) — при увеличении амплитуды возрастает и возвращающая сила, и путь, который нужно пройти, причём эти изменения компенсируют друг друга так, что время одного полного колебания остаётся неизменным.

Почему период математического маятника не зависит от массы груза? Потому что и сила тяжести, вызывающая колебания, и инертность груза (масса, определяющая его сопротивление ускорению) пропорциональны одной и той же массе — при выводе формулы периода масса сокращается, и в итоге период зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения.

Чем отличается длина волны от амплитуды колебаний? Длина волны — это пространственная характеристика, показывающая расстояние между соседними точками среды, колеблющимися в одинаковой фазе (например, между соседними гребнями волны), а амплитуда — это максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия; это принципиально разные величины, хотя обе связаны с описанием колебательного процесса.

Как отличить поперечную волну от продольной на практике? Нужно посмотреть, как направлены колебания частиц среды относительно направления распространения волны: если колебания перпендикулярны направлению распространения — волна поперечная (как рябь на воде), если колебания происходят вдоль направления распространения — волна продольная (как звук в воздухе).

Задачи для самостоятельного решения

Груз на пружине жёсткостью 40 Н/м имеет массу 0,1 кг. Найдите период колебаний ( $\pi^2\approx10$ ).
Математический маятник длиной 2,5 м колеблется с периодом $T$ . Найдите этот период ( $g=10$ м/с², $\pi^2\approx10$ ).
Тело совершает 15 полных колебаний за 5 секунд. Найдите частоту колебаний.
Звуковая волна имеет частоту 440 Гц и распространяется в воздухе со скоростью 340 м/с. Найдите длину волны.
Волна на воде имеет период 0,5 с и длину волны 1 м. Найдите скорость распространения волны.
Объясните, почему увеличение массы груза на пружине увеличивает период колебаний, а увеличение массы груза математического маятника не влияет на его период.