Логарифмические уравнения с заменой переменной

В этой статье вы сможете узнать:

• когда в логарифмическом уравнении стоит использовать замену переменной;
• как свести уравнение с логарифмами к обычному квадратному уравнению;
• как решать уравнения, где логарифм встречается «в обе стороны» (log_a x и log_x a).

Когда нужна замена переменной

Если в уравнении несколько раз повторяется одно и то же логарифмическое выражение (например, $\log_a x$ встречается и в первой, и во второй степени), удобно ввести новую переменную $t$, заменив ей всё повторяющееся выражение. Уравнение при этом превращается в обычное алгебраическое — чаще всего квадратное.

Стандартный вид уравнения

$A\cdot(\log_a x)^2 + B\cdot\log_a x + C = 0$

Здесь замена $t = \log_a x$ сразу даёт квадратное уравнение:

$At^2 + Bt + C = 0$

Замена в дробно-рациональном уравнении

Иногда после замены $t = \log_a f(x)$ получается не квадратное, а дробно-рациональное уравнение относительно $t$ — например, если исходное выражение содержит логарифм в знаменателе дроби. В этом случае к обычной ОДЗ по $x$ добавляется ещё одно условие: знаменатель дробно-рационального уравнения относительно $t$ не должен обращаться в ноль.

Алгоритм решения

1. Найдите ОДЗ исходного уравнения (аргумент логарифма положителен, а если основание переменное — ещё и условия на основание).
2. Введите замену $t = \log_a f(x)$ там, где выражение повторяется.
3. Перепишите уравнение через $t$ и решите его как обычное алгебраическое уравнение.
4. Для каждого найденного корня $t_i$ решите простейшее логарифмическое уравнение $\log_a f(x) = t_i$.
5. Проверьте все найденные значения $x$ по ОДЗ, отбросьте посторонние.

В каких заданиях ЕГЭ встречаются такие уравнения

Профильный уровень. Логарифмические уравнения с заменой переменной — одна из самых частых разновидностей задания 13: приведение уравнения к квадратному через замену — стандартный, хорошо узнаваемый приём именно в этом номере.

Примеры решения

Пример 1. Решите уравнение $(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 6 = 0$.

ОДЗ: $x>0$.

Замена $t = \log_2 x$: $t^2 - t - 6 = 0$, откуда $(t-3)(t+2)=0$, то есть $t=3$ или $t=-2$.

Возвращаемся к $x$: $\log_2 x = 3 \Rightarrow x=8$; $\log_2 x = -2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{4}$.

Оба значения положительны, ОДЗ выполнена.

Ответ: $x=8$, $x=\dfrac{1}{4}$.

Пример 2. Решите уравнение $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$.

ОДЗ: $x>0$.

Замена $t = \lg x$: $t^2 - 3t + 2 = 0$, откуда $(t-1)(t-2)=0$, то есть $t=1$ или $t=2$.

Возвращаемся к $x$: $\lg x = 1 \Rightarrow x=10$; $\lg x = 2 \Rightarrow x=100$.

Ответ: $x=10$, $x=100$.

Пример 3. Решите уравнение $\log_x 2 + \log_2 x = \dfrac{5}{2}$.

ОДЗ: $x>0$, $x\neq 1$.

Замена $t = \log_2 x$, тогда $\log_x 2 = \dfrac{1}{t}$ (при $t\neq 0$, что уже обеспечено условием $x\neq 1$):

$\dfrac{1}{t} + t = \dfrac{5}{2}$

Умножим на $2t$: $2 + 2t^2 = 5t$, то есть $2t^2 - 5t + 2 = 0$. Корни: $t = 2$ или $t = \dfrac{1}{2}$.

Возвращаемся к $x$: $\log_2 x = 2 \Rightarrow x=4$; $\log_2 x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x=\sqrt{2}$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x>0$, $x\neq 1$).

Ответ: $x=4$, $x=\sqrt{2}$.

Пример 4. Решите уравнение $\dfrac{3}{\log_2 x - 1} = \log_2 x + 1$.

ОДЗ: $x>0$.

Замена $t = \log_2 x$. Дополнительно нужно условие $t \neq 1$ — иначе знаменатель дроби обращается в ноль:

$\dfrac{3}{t-1} = t+1$

Умножим обе части на $(t-1)$ (с учётом $t\neq 1$):

$3 = (t+1)(t-1) = t^2 - 1$

Отсюда $t^2 = 4$, то есть $t=2$ или $t=-2$. Оба значения не равны 1, значит, условие $t\neq 1$ не нарушено.

Возвращаемся к $x$: $\log_2 x = 2 \Rightarrow x=4$; $\log_2 x = -2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{4}$.

Оба значения положительны, ОДЗ по $x$ выполнена.

Ответ: $x=4$, $x=\dfrac{1}{4}$.

Часто задаваемые вопросы

Как понять, что в уравнении нужна именно замена переменной, а не потенцирование? Если логарифмическое выражение встречается в уравнении несколько раз (особенно в разных степенях), и без замены уравнение выглядит громоздким — это сигнал использовать подстановку $t=\log_a f(x)$.

Нужно ли отдельно проверять ОДЗ для $t$? Нет, ОДЗ проверяется только для исходной переменной $x$ — на переменную $t$ никаких ограничений формально нет, поскольку логарифм может принимать любое действительное значение.

Что делать, если после замены получилось не квадратное, а более сложное уравнение относительно $t$? Решать его теми методами, которые подходят для этого типа уравнения (например, методом разложения на множители или через теорему Виета) — сама идея замены переменной работает одинаково независимо от степени получившегося уравнения.

Почему в уравнениях с $\log_x a$ обязательно нужно условие $x\neq 1$? Потому что при $x=1$ выражение $\log_x a$ не определено — единица не может быть основанием логарифма, поэтому это условие входит в ОДЗ наравне с положительностью $x$.

Похожие темы для изучения

• Простейшие логарифмические уравнения
• Формулы логарифмов
• Область допустимых значений в выражениях с логарифмом
• Логарифмические неравенства с заменой переменной

Задачи для самостоятельного решения

1. Решите уравнение $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0$.
2. Решите уравнение $\lg^2 x + \lg x - 2 = 0$.
3. Решите уравнение $\log_x 3 + \log_3 x = 2$.
4. Решите уравнение $(\log_2 x)^2 = 4$.
5. Решите уравнение $2\log_5^2 x - 3\log_5 x - 2 = 0$.
6. Решите уравнение $\log_x 4 \cdot \log_2 x = 2$.