Логарифмическая функция: график и свойства

В этой статье вы сможете узнать:

• как выглядит график функции $y = \log_a x$;
• чем отличается график при $a>1$ от графика при $0<a<1$;
• какие свойства (область определения, монотонность, асимптота) имеет логарифмическая функция.

Область определения и значений

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ (где $a>0$, $a\neq 1$) определена только при $x>0$ — область определения не включает ноль и отрицательные числа. При этом область значений — вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$: логарифм может быть сколь угодно большим положительным или отрицательным числом.

График функции

График функций $y = \log_2x$ и $y = \log_{0,5}x$: возрастающая и убывающая логарифмические кривые с общей асимптотой по оси y

На рисунке показаны два характерных случая: при основании больше единицы ($a=2$) график возрастает, а при основании между нулём и единицей ($a=0{,}5$) — убывает. Оба графика проходят через одну и ту же точку $(1;0)$, а вертикальная ось $y$ служит для обоих вертикальной асимптотой — график бесконечно приближается к ней при $x\to 0^+$, но никогда её не пересекает.

Ключевые точки графика

Независимо от значения основания $a$, график $y=\log_a x$ всегда проходит через две характерные точки:

$(1; 0)$, потому что $\log_a 1 = 0$ при любом $a$;

$(a; 1)$, потому что $\log_a a = 1$.

Вторая точка удобна для быстрого наброска графика: если $a>1$, точка $(a;1)$ находится правее и выше точки $(1;0)$; если $0<a<1$, точка $(a;1)$ находится левее точки $(1;0)$, но всё равно выше по оси $y$.

Свойства логарифмической функции

• Монотонность. При $a>1$ функция возрастает на всей области определения; при $0<a<1$ — убывает на всей области определения.
• Асимптота. Ось $y$ (прямая $x=0$) — вертикальная асимптота графика в обоих случаях.
• Чётность. Функция не является ни чётной, ни нечётной — область определения $x>0$ не симметрична относительно нуля.
• Периодичность. Логарифмическая функция не периодична.
• Ограниченность. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
• Обратная функция. Логарифмическая функция $y=\log_a x$ — обратная к показательной функции $y=a^x$; их графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Алгоритм построения графика

1. Определите основание $a$ и проверьте, больше оно единицы или лежит между нулём и единицей — это определяет направление монотонности.
2. Отметьте точку $(1;0)$ — она есть у графика при любом основании.
3. Отметьте точку $(a;1)$.
4. Проведите вертикальную асимптоту вдоль оси $y$.
5. Соедините отмеченные точки плавной кривой, которая приближается к асимптоте при $x\to 0^+$ и продолжается неограниченно вправо (вверх при $a>1$, вниз при $0<a<1$).

В каких заданиях ЕГЭ встречается эта тема

Профильный уровень. График и свойства логарифмической функции — основная тема задания 11 (функции и их свойства), где нужно определить область определения, монотонность или сравнить значения логарифмической функции в разных точках. Понимание графика также помогает в задании 12, если исследуемая функция включает логарифм, а иногда и в задании 18 (задача с параметром), где поведение логарифмической функции при разных значениях параметра нужно анализировать графически.

Примеры решения

Пример 1. Возрастает или убывает функция $y = \log_{0{,}3} x$?

Основание $0{,}3$ лежит между нулём и единицей, значит, функция убывает на всей области определения.

Ответ: убывает.

Пример 2. Сравните $\log_5 3$ и $\log_5 7$.

Функция $y=\log_5 x$ возрастает (основание больше единицы), а $3<7$, значит:

$\log_5 3 < \log_5 7$

Ответ: $\log_5 3 < \log_5 7$.

Пример 3. Найдите область определения функции $y = \log_3(x-4)$.

Аргумент логарифма должен быть положителен: $x-4>0$, откуда $x>4$. График этой функции — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 4 единицы вправо, с асимптотой уже не $x=0$, а $x=4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

Часто задаваемые вопросы

Почему график логарифмической функции никогда не пересекает ось y? Потому что логарифм определён только для положительных чисел, а ось $y$ соответствует значению $x=0$, которое не входит в область определения — график может сколь угодно близко подходить к оси, но никогда её не достигает.

Как по графику быстро определить, больше единицы основание или меньше? Достаточно посмотреть на направление кривой: если график возрастает слева направо, основание больше единицы; если убывает — основание лежит между нулём и единицей.

Чем график логарифмической функции отличается от графика показательной? Это взаимно обратные функции, и их графики симметричны относительно прямой $y=x$ — фактически график логарифма получается «отражением» графика показательной функции с тем же основанием.

Может ли логарифмическая функция принимать отрицательные значения? Да, при $0<x<1$ логарифм по любому основанию $a>1$ отрицателен (а при основании $0<a<1$, наоборот, отрицателен при $x>1$) — область значений включает все действительные числа, а не только положительные.

Похожие темы для изучения

• Что такое логарифм — определение и основные понятия
• Область допустимых значений в выражениях с логарифмом
• Область определения и значений тригонометрических функций
• Простейшие логарифмические уравнения

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите, возрастает или убывает функция $y = \log_7 x$.
2. Сравните $\log_{0{,}4} 2$ и $\log_{0{,}4} 5$.
3. Найдите область определения функции $y = \log_2(6-x)$.
4. Через какие две точки проходит график функции $y = \log_4 x$?
5. Объясните, почему графики $y=\log_2 x$ и $y=2^x$ симметричны относительно прямой $y=x$.
6. При каком $x$ функция $y=\log_{0{,}5} x$ принимает значение $-3$?