Незнайка
Вся теория
Теория· 5 мин чтения

Колебательный контур и электромагнитные колебания

Устройство колебательного контура, формула Томсона для периода колебаний, превращения энергии между конденсатором и катушкой.

В этой статье вы сможете узнать:

  • из чего состоит колебательный контур и как в нём возникают электромагнитные колебания;
  • как формула Томсона связывает период колебаний с ёмкостью и индуктивностью;
  • как энергия превращается между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки.

Устройство колебательного контура

Колебательный контур — это замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью CC и катушки индуктивностью LL. Если конденсатор зарядить, а затем замкнуть цепь, в контуре возникают свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда конденсатора, напряжения на нём и силы тока в катушке.

Механизм колебаний в контуре

Когда заряженный конденсатор начинает разряжаться через катушку, в цепи возникает нарастающий ток, а в катушке — магнитное поле. По мере разрядки конденсатора его энергия переходит в энергию магнитного поля катушки. Когда конденсатор полностью разрядится, вся энергия сосредоточена в катушке; далее ток, поддерживаемый явлением самоиндукции, продолжает течь, перезаряжая конденсатор в противоположном направлении. Процесс повторяется, и в контуре (без потерь энергии) устанавливаются незатухающие периодические колебания.

Формула Томсона

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (без сопротивления) определяется формулой Томсона:

T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC}

Пример. Найдите период колебаний контура с ёмкостью конденсатора 4×10−64\times10^{-6} Ф и индуктивностью катушки 1×10−31\times10^{-3} Гн (π2≈10\pi^2\approx10).

LC=4×10−6⋅1×10−3=4×10−9LC = 4\times10^{-6}\cdot1\times10^{-3} = 4\times10^{-9}

LC=4×10−9≈6,32×10−5\sqrt{LC} = \sqrt{4\times10^{-9}} \approx 6{,}32\times10^{-5}

T=2πLC≈2π⋅6,32×10−5≈3,97×10−4 с≈0,4 мсT = 2\pi\sqrt{LC} \approx 2\pi\cdot6{,}32\times10^{-5} \approx 3{,}97\times10^{-4} \text{ с} \approx 0{,}4 \text{ мс}

Частота свободных колебаний

Частота колебаний обратна периоду:

ν=1T=12πLC\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

Энергия электромагнитных колебаний

Полная энергия колебательного контура (без потерь) складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки и остаётся постоянной:

W=WC+WL=q22C+LI22=constW = W_C + W_L = \dfrac{q^2}{2C} + \dfrac{LI^2}{2} = \text{const}

где qq — заряд конденсатора в данный момент, II — сила тока в катушке в тот же момент.

Максимальная энергия электрического поля (в момент, когда ток равен нулю, а заряд конденсатора максимален) равна максимальной энергии магнитного поля (в момент, когда заряд конденсатора равен нулю, а ток максимален):

qmax⁡22C=LImax⁡22\dfrac{q_{\max}^2}{2C} = \dfrac{LI_{\max}^2}{2}

Пример. Максимальный заряд конденсатора в контуре равен 2×10−52\times10^{-5} Кл, ёмкость конденсатора — 2×10−62\times10^{-6} Ф, индуктивность катушки — 5×10−35\times10^{-3} Гн. Найдите максимальную силу тока в контуре.

Сначала найдём полную энергию контура:

W=qmax⁡22C=(2×10−5)22⋅2×10−6=4×10−104×10−6=1×10−4 ДжW = \dfrac{q_{\max}^2}{2C} = \dfrac{(2\times10^{-5})^2}{2\cdot2\times10^{-6}} = \dfrac{4\times10^{-10}}{4\times10^{-6}} = 1\times10^{-4} \text{ Дж}

Приравниваем к максимальной энергии магнитного поля:

LImax⁡22=W⇒Imax⁡=2WL=2×10−45×10−3=0,04=0,2 А\dfrac{LI_{\max}^2}{2} = W \Rightarrow I_{\max} = \sqrt{\dfrac{2W}{L}} = \sqrt{\dfrac{2\times10^{-4}}{5\times10^{-3}}} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \text{ А}

Алгоритм решения задач на колебательный контур

  1. Определите, какие величины даны в задаче: ёмкость конденсатора, индуктивность катушки, период (частота) колебаний, максимальный заряд или максимальный ток.
  2. Если нужно найти период или частоту колебаний, используйте формулу Томсона T=2πLCT=2\pi\sqrt{LC} или ν=12πLC\nu=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
  3. Если нужно связать максимальный заряд и максимальный ток, используйте закон сохранения энергии контура: qmax⁡22C=LImax⁡22\dfrac{q_{\max}^2}{2C}=\dfrac{LI_{\max}^2}{2}.
  4. Подставьте известные величины в соответствующую формулу и решите относительно искомой величины.
  5. Проверьте единицы измерения (Фарады, Генри, секунды) перед подстановкой в формулы.

Примеры решения

Пример 1. Найдите ёмкость конденсатора в контуре с индуктивностью катушки 2×10−32\times10^{-3} Гн, если период колебаний равен 2×10−42\times10^{-4} с (π2≈10\pi^2\approx10).

T=2πLC⇒C=T24π2L=(2×10−4)24⋅10⋅2×10−3=4×10−88×10−2=5×10−7 ФT = 2\pi\sqrt{LC} \Rightarrow C = \dfrac{T^2}{4\pi^2L} = \dfrac{(2\times10^{-4})^2}{4\cdot10\cdot2\times10^{-3}} = \dfrac{4\times10^{-8}}{8\times10^{-2}} = 5\times10^{-7} \text{ Ф}

Ответ: 5×10−75\times10^{-7} Ф.

Пример 2. Максимальное напряжение на конденсаторе ёмкостью 1×10−61\times10^{-6} Ф равно 100 В. Найдите энергию электрического поля конденсатора в момент максимального заряда.

W=CUmax⁡22=1×10−6⋅10022=1×10−6⋅1042=0,012=0,005 ДжW = \dfrac{CU_{\max}^2}{2} = \dfrac{1\times10^{-6}\cdot100^2}{2} = \dfrac{1\times10^{-6}\cdot10^4}{2} = \dfrac{0{,}01}{2} = 0{,}005 \text{ Дж}

Ответ: 0,005 Дж.

Пример 3. Частота колебаний контура равна 1000 Гц, индуктивность катушки равна 2,5×10−32{,}5\times10^{-3} Гн. Найдите ёмкость конденсатора (π2≈10\pi^2\approx10).

ν=12πLC⇒C=14π2ν2L=14⋅10⋅10002⋅2,5×10−3=14⋅10⋅106⋅2,5×10−3=1105=1×10−5 Ф\nu = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow C = \dfrac{1}{4\pi^2\nu^2L} = \dfrac{1}{4\cdot10\cdot1000^2\cdot2{,}5\times10^{-3}} = \dfrac{1}{4\cdot10\cdot10^6\cdot2{,}5\times10^{-3}} = \dfrac{1}{10^5} = 1\times10^{-5} \text{ Ф}

Ответ: 1×10−51\times10^{-5} Ф.

Часто задаваемые вопросы

Почему колебания в реальном контуре постепенно затухают? Потому что реальные проводники (катушка и соединительные провода) обладают некоторым электрическим сопротивлением, на котором часть энергии колебаний необратимо превращается в тепло — формула Томсона описывает идеальный случай без потерь энергии, для которого колебания были бы незатухающими.

Как энергия «перетекает» между конденсатором и катушкой в течение одного периода? В течение одного периода колебаний энергия дважды полностью переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно — когда заряд конденсатора максимален, ток равен нулю и вся энергия сосредоточена в конденсаторе, а когда заряд равен нулю, ток максимален и вся энергия сосредоточена в катушке.

Почему увеличение ёмкости конденсатора или индуктивности катушки увеличивает период колебаний? Согласно формуле Томсона T=2πLCT=2\pi\sqrt{LC}, период прямо пропорционален квадратному корню из произведения LL и CC — физически это связано с тем, что при большей ёмкости конденсатору требуется больше времени для перезарядки через ту же катушку, а при большей индуктивности катушка сильнее противодействует изменению тока (по закону электромагнитной индукции), что также замедляет колебания.

Можно ли использовать формулу Томсона для контура с ненулевым сопротивлением? Формула Томсона строго применима только к идеальному контуру без сопротивления (или с пренебрежимо малым сопротивлением) — при наличии значительного сопротивления колебания становятся затухающими, и их период немного отличается от значения, вычисленного по формуле Томсона, хотя для большинства учебных задач ЕГЭ эта поправка не учитывается.

Похожие темы для изучения

  • Электромагнитная индукция
  • Механические колебания и волны
  • Постоянный ток: закон Ома, соединения проводников
  • Магнитное поле: сила Ампера и сила Лоренца

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите период колебаний контура с ёмкостью 2×10−62\times10^{-6} Ф и индуктивностью 8×10−38\times10^{-3} Гн (π2≈10\pi^2\approx10).
  2. Найдите частоту колебаний контура с ёмкостью 5×10−75\times10^{-7} Ф и индуктивностью 2×10−32\times10^{-3} Гн (π2≈10\pi^2\approx10).
  3. Максимальный заряд конденсатора в контуре равен 1×10−51\times10^{-5} Кл, ёмкость — 1×10−61\times10^{-6} Ф, индуктивность катушки — 4×10−34\times10^{-3} Гн. Найдите максимальную силу тока.
  4. Найдите энергию электрического поля конденсатора ёмкостью 2×10−62\times10^{-6} Ф при напряжении на нём 50 В.
  5. Индуктивность катушки в контуре равна 1×10−21\times10^{-2} Гн, период колебаний — 2×10−32\times10^{-3} с. Найдите ёмкость конденсатора (π2≈10\pi^2\approx10).
  6. Объясните, почему в момент, когда ток в катушке максимален, напряжение на конденсаторе равно нулю.