Кинематика: равномерное и равноускоренное движение

В этой статье вы сможете узнать:

чем равномерное движение отличается от равноускоренного;
какие формулы связывают координату, скорость, ускорение и время в каждом виде движения;
как читать графики зависимости координаты и скорости от времени.

Равномерное прямолинейное движение

Равномерное движение — это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью, то есть без ускорения. Координата тела меняется по закону:

$x = x_0 + v_x t$

где $x_0$ — начальная координата, $v_x$ — проекция скорости на ось (постоянна для равномерного движения), $t$ — время.

Путь при равномерном движении вычисляется как:

$s = v t$

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренное движение — это движение с постоянным ускорением $a$ , при котором скорость меняется линейно со временем:

$v_x = v_{0x} + a_x t$

Координата тела при этом меняется по квадратичному закону:

$x = x_0 + v_{0x} t + \dfrac{a_x t^2}{2}$

Формула пути без учёта времени

Если время движения неизвестно, но известны начальная и конечная скорости, путь можно найти по формуле, не содержащей время:

$v_x^2 - v_{0x}^2 = 2 a_x s$

Пример. Автомобиль разгоняется равноускоренно от $v_0=0$ до $v=20$ м/с на пути $s=100$ м. Найдите ускорение.

$a = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2s} = \dfrac{20^2 - 0^2}{2 \cdot 100} = \dfrac{400}{200} = 2 \text{ м/с}^2$

Средняя скорость при равноускоренном движении

При равноускоренном движении без изменения направления средняя скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной скорости:

$v_{\text{ср}} = \dfrac{v_0 + v}{2}$

Графики движения

При равномерном движении:

график координаты $x(t)$ — прямая линия с наклоном, равным скорости $v_x$ ; график скорости $v_x(t)$ — горизонтальная прямая (скорость постоянна); площадь под графиком скорости равна пройденному пути.

При равноускоренном движении:

график координаты $x(t)$ — парабола (ветви вверх при $a_x>0$ , вниз при $a_x<0$ ); график скорости $v_x(t)$ — прямая линия с наклоном, равным ускорению $a_x$ ; площадь под графиком скорости (трапеция или треугольник) также равна пройденному пути.

Свободное падение как частный случай равноускоренного движения

Свободное падение — это равноускоренное движение с ускорением свободного падения $g \approx 9{,}8$ м/с² (в задачах часто округляют до $10$ м/с²), направленным вертикально вниз. Все формулы равноускоренного движения применимы, если заменить $a$ на $g$ и рассматривать вертикальную координату.

Пример. Тело падает без начальной скорости с высоты $h=45$ м. Найдите время падения (при $g=10$ м/с²).

$h = \dfrac{g t^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot45}{10}} = \sqrt{9} = 3 \text{ с}$

Алгоритм решения задач на кинематику

Определите вид движения: равномерное (скорость постоянна) или равноускоренное (ускорение постоянно, скорость меняется линейно).
Выберите систему координат и определите знаки проекций скорости и ускорения на выбранную ось.
Запишите известные величины (начальную координату, начальную скорость, ускорение, время или путь) и то, что нужно найти.
Выберите подходящую формулу: если время неизвестно, используйте формулу $v^2-v_0^2=2as$ ; если нужно найти координату при известном времени, используйте формулу $x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$ .
Подставьте числа, проверьте единицы измерения и вычислите результат.

Примеры решения

Пример 1. Тело движется равномерно со скоростью 15 м/с. Какой путь оно пройдёт за 8 секунд?

$s = vt = 15 \cdot 8 = 120 \text{ м}$

Ответ: 120 м.

Пример 2. Тело начинает двигаться из состояния покоя с ускорением 4 м/с². Какую скорость оно достигнет через 5 секунд и какой путь пройдёт за это время?

$v = v_0 + at = 0 + 4 \cdot 5 = 20 \text{ м/с}$ $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2} = 0 + \dfrac{4 \cdot 25}{2} = 50 \text{ м}$

Ответ: скорость 20 м/с, путь 50 м.

Пример 3. Поезд движется со скоростью 30 м/с и начинает тормозить с ускорением 3 м/с². Какой путь он пройдёт до полной остановки?

При торможении конечная скорость равна 0, ускорение направлено против скорости:

$0 - v_0^2 = 2(-a)s \Rightarrow s = \dfrac{v_0^2}{2a} = \dfrac{30^2}{2\cdot3} = \dfrac{900}{6} = 150 \text{ м}$

Ответ: 150 м.

Часто задаваемые вопросы

Как отличить равномерное движение от равноускоренного по графику скорости? На графике скорости от времени равномерное движение изображается горизонтальной прямой (скорость не меняется), а равноускоренное — наклонной прямой, причём угол наклона тем больше, чем больше модуль ускорения.

Можно ли использовать формулы равноускоренного движения, если тело замедляется? Да, торможение — это тоже равноускоренное движение, но с ускорением, направленным против скорости; в проекциях на выбранную ось это выражается отрицательным значением ускорения (если скорость положительна) — формулы остаются теми же.

Почему при свободном падении вместо буквы $a$ используют $g$ ? Потому что при свободном падении ускорение всегда равно ускорению свободного падения $g$ , которое считается постоянным вблизи поверхности Земли (не учитывая сопротивление воздуха), — это просто частный случай общей формулы равноускоренного движения с конкретным значением ускорения.

Как найти путь, не зная времени движения? Нужно использовать формулу $v^2 - v_0^2 = 2as$ , которая связывает начальную и конечную скорости с ускорением и путём напрямую, без участия времени в явном виде.

Задачи для самостоятельного решения

Тело движется равномерно со скоростью 12 м/с. Какой путь оно пройдёт за 20 секунд?
Автомобиль разгоняется с места с ускорением 2,5 м/с². Найдите его скорость через 6 секунд.
Мяч бросили вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с. Через какое время он упадёт с высоты 40 м (при $g=10$ м/с²)?
Велосипедист тормозит с начальной скорости 10 м/с с ускорением 2 м/с². Какой путь он пройдёт до остановки?
Постройте (опишите словами) график скорости от времени для тела, которое разгоняется 5 секунд, затем 3 секунды движется равномерно.
Объясните, почему площадь под графиком скорости от времени равна пройденному пути.