Кинематика: движение по окружности

В этой статье вы сможете узнать:

• как связаны угловая и линейная скорость при движении по окружности;
• что такое период и частота обращения и как они связаны с угловой скоростью;
• как найти центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности.

Равномерное движение по окружности

При равномерном движении по окружности модуль скорости тела не меняется, но направление скорости постоянно меняется — поэтому такое движение является ускоренным, хотя и происходит с постоянной по модулю скоростью.

Угловая скорость

Угловая скорость $\omega$ — это отношение угла поворота $\varphi$ (в радианах) ко времени, за которое этот поворот произошёл:

$\omega = \dfrac{\varphi}{t}$

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Период и частота обращения

Период обращения $T$ — это время одного полного оборота тела по окружности.

Частота обращения $\nu$ — это количество полных оборотов за одну секунду, обратная величина периода:

$\nu = \dfrac{1}{T}$

Угловая скорость связана с периодом и частотой формулой:

$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$

Связь линейной и угловой скорости

Линейная скорость $v$ — это обычная скорость тела, направленная по касательной к окружности в каждой точке траектории. Она связана с угловой скоростью и радиусом окружности $R$ формулой:

$v = \omega R$

Пример. Тело движется по окружности радиусом 2 м с угловой скоростью 3 рад/с. Найдите линейную скорость.

$v = \omega R = 3 \cdot 2 = 6 \text{ м/с}$

Центростремительное ускорение

При равномерном движении по окружности ускорение направлено к центру окружности (перпендикулярно скорости) и называется центростремительным. Его можно найти по одной из эквивалентных формул:

$a_{\text{ц}} = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R$

Пример. Найдите центростремительное ускорение тела из предыдущего примера ($v=6$ м/с, $R=2$ м).

$a_{\text{ц}} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{6^2}{2} = \dfrac{36}{2} = 18 \text{ м/с}^2$

Проверим через угловую скорость: $a_{\text{ц}} = \omega^2 R = 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18$ м/с² — результаты совпадают.

Сила, вызывающая центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение вызывается равнодействующей силой, направленной к центру окружности (это может быть сила натяжения нити, сила тяжести, сила трения, сила реакции опоры или их комбинация в зависимости от конкретной физической ситуации). По второму закону Ньютона:

$F_{\text{ц}} = m a_{\text{ц}} = \dfrac{m v^2}{R}$

Алгоритм решения задач на движение по окружности

1. Определите, какие величины даны в задаче: радиус, линейная или угловая скорость, период, частота.
2. Если дан период или частота, найдите угловую скорость по формуле $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$.
3. Свяжите линейную и угловую скорость через радиус: $v=\omega R$.
4. Найдите центростремительное ускорение по одной из формул $a_{\text{ц}}=\dfrac{v^2}{R}$ или $a_{\text{ц}}=\omega^2 R$, в зависимости от того, какие величины известны.
5. Если нужно найти силу, вызывающую это ускорение, используйте второй закон Ньютона: $F_{\text{ц}}=ma_{\text{ц}}$.

Примеры решения

Пример 1. Период обращения тела по окружности радиусом 5 м равен 10 с. Найдите линейную скорость тела.

$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{10} = \dfrac{\pi}{5} \text{ рад/с}$ $v = \omega R = \dfrac{\pi}{5} \cdot 5 = \pi \approx 3{,}14 \text{ м/с}$

Ответ: примерно 3,14 м/с.

Пример 2. Тело массой 0,5 кг движется по окружности радиусом 1 м со скоростью 4 м/с. Найдите центростремительную силу.

$F_{\text{ц}} = \dfrac{mv^2}{R} = \dfrac{0{,}5 \cdot 4^2}{1} = \dfrac{0{,}5\cdot16}{1} = 8 \text{ Н}$

Ответ: 8 Н.

Пример 3. Колесо совершает 300 оборотов в минуту. Найдите его угловую скорость в рад/с.

Переводим частоту в обороты в секунду: $\nu = \dfrac{300}{60} = 5$ об/с.

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4 \text{ рад/с}$

Ответ: примерно 31,4 рад/с.

Часто задаваемые вопросы

Почему движение по окружности с постоянной по модулю скоростью считается ускоренным? Потому что ускорение характеризует изменение скорости как вектора, а не только её модуля — при движении по окружности направление скорости непрерывно меняется, поэтому вектор скорости меняется, а значит, тело движется с ускорением, даже если модуль скорости остаётся постоянным.

Куда направлено центростремительное ускорение и почему не в сторону движения? Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, перпендикулярно вектору скорости в данный момент, — именно эта перпендикулярная составляющая ускорения меняет направление скорости, заставляя тело двигаться по окружности, а не по прямой.

Как связаны период и частота обращения? Период и частота — взаимно обратные величины: $T=\dfrac{1}{\nu}$ и $\nu=\dfrac{1}{T}$, где период измеряется в секундах, а частота — в герцах (оборотах в секунду).

Может ли центростремительная сила быть отдельной, «новой» силой природы? Нет, центростремительная сила — это не отдельный вид взаимодействия, а название равнодействующей уже известных сил (тяжести, натяжения, трения, реакции опоры и так далее), которая в конкретной ситуации направлена к центру окружности и обеспечивает движение тела по ней.

Похожие темы для изучения

• Кинематика: равномерное и равноускоренное движение
• Динамика: законы Ньютона
• Силы в механике: тяжести, упругости, трения
• Механические колебания и волны

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело движется по окружности радиусом 3 м с угловой скоростью 2 рад/с. Найдите линейную скорость.
2. Период обращения спутника вокруг Земли равен 90 минут. Найдите его угловую скорость в рад/с.
3. Тело массой 2 кг движется по окружности радиусом 0,5 м со скоростью 3 м/с. Найдите центростремительную силу.
4. Найдите центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 4 м с частотой обращения 2 Гц.
5. Колесо радиусом 0,3 м вращается с угловой скоростью 20 рад/с. Найдите линейную скорость точки на его ободе.
6. Объясните, почему при увеличении радиуса окружности вдвое (при той же угловой скорости) центростремительное ускорение тоже увеличивается вдвое.