Графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса

В этой статье вы сможете узнать:

• как выглядят графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
• какими общими свойствами обладают эти функции — период, чётность, монотонность;
• как быстро построить график по ключевым точкам.

График синуса

Синусоида — периодическая волнообразная кривая с периодом 2π. Функция нечётная (sin(−x) = −sin x), поэтому график симметричен относительно начала координат. Область значений — отрезок [−1; 1].

Ключевые точки синусоиды на одном периоде: график проходит через ноль при x = 0, πn; достигает максимума 1 при x = π/2 + 2πn; достигает минимума −1 при x = −π/2 + 2πn (или, что то же самое, 3π/2 + 2πn). На промежутке от −π/2 до π/2 функция возрастает, на промежутке от π/2 до 3π/2 — убывает, и дальше это чередование повторяется с периодом 2π.

График косинуса

Косинусоида имеет ту же форму волны, что и синусоида, но сдвинута по горизонтали — фактически это график синуса, смещённый влево на π/2. Функция чётная (cos(−x) = cos x), поэтому график симметричен относительно оси y. Период тот же — 2π, область значений — тот же отрезок [−1; 1].

Ключевые точки: график проходит через ноль при x = π/2 + πn; достигает максимума 1 при x = 2πn; достигает минимума −1 при x = π + 2πn. Функция убывает на промежутке от 0 до π и возрастает на промежутке от π до 2π, дальше это чередование повторяется.

График тангенса

График тангенса устроен принципиально иначе: он состоит из отдельных «веток», разделённых вертикальными асимптотами в точках, где тангенс не определён (x = π/2 + πn). Период тангенса вдвое меньше, чем у синуса и косинуса, — он равен π. Функция нечётная ($\mathrm{tg}(-\alpha) = -\mathrm{tg}\,\alpha$), область значений — вся числовая прямая.

На каждом промежутке между соседними асимптотами тангенс монотонно возрастает от −∞ до +∞, проходя через ноль в середине промежутка (в точках x = πn). Из-за вертикальных асимптот график тангенса разрывен — он не может быть начерчен одной сплошной линией на всей числовой прямой.

График котангенса

График котангенса устроен так же, как график тангенса, — отдельными ветвями между вертикальными асимптотами, но асимптоты и поведение здесь другие. Котангенс не определён там, где sin x = 0, то есть при x = πn — именно в этих точках проходят асимптоты. Период, как и у тангенса, равен π, функция нечётная ($\mathrm{ctg}(-\alpha) = -\mathrm{ctg}\,\alpha$), область значений — вся числовая прямая.

Главное отличие от тангенса — направление монотонности: на каждом промежутке между соседними асимптотами котангенс не возрастает, а убывает от +∞ до −∞, проходя через ноль в середине промежутка (в точках x = π/2 + πn).

Сводная таблица свойств

Как построить график по ключевым точкам

1. Определите период функции — для этого, если аргумент не x, а kx, разделите стандартный период (2π для синуса и косинуса, π для тангенса) на коэффициент k.
2. Отметьте на оси x границы одного периода.
3. Найдите и отметьте нули функции внутри этого периода.
4. Для синуса и косинуса отметьте точки максимума и минимума; для тангенса и котангенса — вертикальные асимптоты.
5. Соедините отмеченные точки плавной кривой (для синуса и косинуса) или отдельными ветвями (для тангенса и котангенса), а затем повторите тот же узор на соседних периодах.

Примеры решения

Пример 1. Найдите период функции y = sin(2x).

Стандартный период синуса — 2π. Так как аргумент умножен на 2, период сокращается: 2π / 2 = π.

Ответ: период равен π.

Пример 2. Является ли функция y = cos(5x) чётной?

Да: cos(5·(−x)) = cos(−5x) = cos(5x), потому что косинус — чётная функция независимо от коэффициента перед x.

Ответ: функция чётная.

Пример 3. Сколько решений имеет уравнение sin x = 0,5 на промежутке [0; 2π]?

По графику синусоиды горизонтальная линия y = 0,5 пересекает одну волну синуса ровно в двух точках на промежутке [0; 2π] — один раз на возрастающем участке, один раз на убывающем.

Ответ: два решения.

Часто задаваемые вопросы

Почему график тангенса не непрерывен? Потому что в точках x = π/2 + πn тангенс не определён (там cos x = 0), и при приближении к этим точкам значение функции уходит в бесконечность — поэтому график разбивается на отдельные ветви вертикальными асимптотами.

Как коэффициент перед x влияет на период функции? Он сжимает или растягивает график по горизонтали: для функции вида sin(kx) или cos(kx) период равен 2π/k, а для tg(kx) — π/k. Чем больше k, тем чаще повторяется график.

Что графически означает нечётность функции? Нечётность означает симметрию графика относительно начала координат: если точку графика повернуть на 180° вокруг начала координат, она снова попадёт на график. У синуса и тангенса эта симметрия видна наглядно.

Как по графику быстро понять, сколько решений у тригонометрического уравнения на заданном промежутке? Нужно провести горизонтальную линию на уровне нужного значения и посчитать, сколько раз она пересекает график функции внутри рассматриваемого промежутка — это и есть количество решений.

Чем графики тангенса и котангенса отличаются друг от друга, если у обоих одинаковый период и область значений? Главное отличие — в расположении асимптот (у тангенса они при π/2 + πn, у котангенса — при πn) и в направлении монотонности на каждой ветви: тангенс на своей ветви возрастает, а котангенс — убывает.

Похожие темы для изучения

• Тригонометрическая окружность
• Область определения и значений тригонометрических функций
• Основное тригонометрическое тождество
• Простейшие тригонометрические уравнения

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите период функции y = cos(3x).
2. Является ли функция y = tg(x) нечётной? Обоснуйте ответ.
3. Сколько решений имеет уравнение cos x = −0,5 на промежутке [0; 2π]?
4. На каком промежутке функция y = sin x убывает: на [0; π/2] или на [π/2; π]?
5. Найдите нули функции y = sin(2x) на промежутке [0; π].
6. Сравните области значений функций y = sin x и y = tg x.
7. Найдите асимптоты графика функции y = ctg x на промежутке [0; 2π].