Геометрическая оптика: линзы и зеркала

В этой статье вы сможете узнать:

как формулируются законы отражения и преломления света;
как формула тонкой линзы связывает расстояние до предмета, до изображения и фокусное расстояние;
как определить характер изображения (действительное или мнимое, увеличенное или уменьшенное) в линзе.

Закон отражения света

Угол отражения равен углу падения, оба угла отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к отражающей поверхности в точке падения луча:

$\alpha_{\text{отр}} = \alpha_{\text{пад}}$

Закон преломления света

При переходе света из одной среды в другую отношение синуса угла падения к синусу угла преломления постоянно и равно относительному показателю преломления второй среды относительно первой:

$\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = n_{21} = \dfrac{n_2}{n_1}$

где $n_1$ и $n_2$ — абсолютные показатели преломления первой и второй среды.

Пример. Луч света падает из воздуха ( $n_1=1$ ) на стекло ( $n_2=1{,}5$ ) под углом 30° ( $\sin30°=0{,}5$ ). Найдите синус угла преломления.

$\sin\beta = \dfrac{n_1\sin\alpha}{n_2} = \dfrac{1\cdot0{,}5}{1{,}5} = 0{,}33$

Формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы связывает расстояние от линзы до предмета $d$ , расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние линзы $F$ :

$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$

Для рассеивающей линзы и мнимых изображений соответствующие расстояния (или фокусное расстояние) подставляются со знаком минус согласно принятому в задаче правилу знаков.

Оптическая сила линзы

Оптическая сила линзы обратна её фокусному расстоянию:

$D = \dfrac{1}{F}$

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр), фокусное расстояние при этом выражается в метрах. Оптическая сила собирающей линзы положительна, рассеивающей — отрицательна.

Пример. Найдите оптическую силу линзы с фокусным расстоянием 0,5 м.

$D = \dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \text{ дптр}$

Линейное увеличение линзы

Линейное увеличение показывает, во сколько раз изображение больше (или меньше) предмета:

$\Gamma = \dfrac{f}{d} = \dfrac{H}{h}$

где $H$ — высота изображения, $h$ — высота предмета.

Построение изображений в собирающей линзе

Предмет за двойным фокусным расстоянием ( $d>2F$ ): изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное, находится между фокусом и двойным фокусом за линзой.

Предмет между фокусом и двойным фокусом ( $F<d<2F$ ): изображение действительное, перевёрнутое, увеличенное, находится за двойным фокусным расстоянием.

Предмет в фокусе ( $d=F$ ): изображение не образуется (лучи после линзы идут параллельно).

Предмет между линзой и фокусом ( $d<F$ ): изображение мнимое, прямое, увеличенное, находится по ту же сторону линзы, что и предмет.

Построение изображений в рассеивающей линзе

Рассеивающая линза при любом положении предмета даёт мнимое, прямое, уменьшенное изображение, расположенное по ту же сторону линзы, что и предмет, между линзой и её фокусом.

Сферические зеркала

Сферическое зеркало — это отражающая поверхность в форме части сферы. Различают вогнутые (собирающие) и выпуклые (рассеивающие) зеркала. Фокусное расстояние сферического зеркала связано с радиусом кривизны $R$ формулой:

$F = \dfrac{R}{2}$

Формула сферического зеркала имеет тот же вид, что и формула тонкой линзы:

$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$

Построение изображений в вогнутом (собирающем) зеркале подчиняется тем же правилам, что и в собирающей линзе: предмет за центром кривизны ( $d>2F$ ) даёт действительное уменьшенное перевёрнутое изображение; предмет между фокусом и центром кривизны ( $F<d<2F$ ) даёт действительное увеличенное перевёрнутое изображение; предмет ближе фокуса ( $d<F$ ) даёт мнимое увеличенное прямое изображение.

Выпуклое (рассеивающее) зеркало при любом положении предмета даёт мнимое, прямое, уменьшенное изображение — так же, как рассеивающая линза.

Пример. Найдите фокусное расстояние вогнутого зеркала с радиусом кривизны 60 см.

$F = \dfrac{R}{2} = \dfrac{60}{2} = 30 \text{ см}$

Алгоритм решения задач на линзы

Определите тип линзы (собирающая или рассеивающая) и положение предмета относительно фокуса и двойного фокуса.
Если нужно найти расстояние до изображения или до предмета, используйте формулу тонкой линзы $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}$ , учитывая знаки величин по принятому правилу.
Определите характер изображения (действительное или мнимое, увеличенное или уменьшенное, прямое или перевёрнутое) по положению предмета относительно фокусных расстояний.
Для нахождения увеличения используйте формулу $\Gamma=\dfrac{f}{d}$ .
Для нахождения оптической силы используйте формулу $D=\dfrac{1}{F}$ , выражая фокусное расстояние в метрах.

Примеры решения

Пример 1. Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Найдите расстояние до изображения.

$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f} \Rightarrow \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{30} = \dfrac{3-2}{60} = \dfrac{1}{60}$

$f = 60 \text{ см}$

Ответ: 60 см.

Пример 2. Предмет высотой 4 см находится на расстоянии 40 см от линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найдите высоту изображения.

$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{40} = \dfrac{4-1}{40} = \dfrac{3}{40} \Rightarrow f=\dfrac{40}{3}\approx13{,}3 \text{ см}$

$\Gamma = \dfrac{f}{d} = \dfrac{13{,}3}{40} \approx 0{,}33$

$H = \Gamma h = 0{,}33\cdot4 \approx 1{,}33 \text{ см}$

Ответ: примерно 1,33 см (изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное).

Пример 3. Найдите фокусное расстояние линзы с оптической силой 4 дптр.

$F = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \text{ м} = 25 \text{ см}$

Ответ: 25 см.

Часто задаваемые вопросы

Как определить, действительное изображение или мнимое, по формуле тонкой линзы? Если полученное расстояние до изображения $f$ положительно (при стандартном правиле знаков), изображение действительное и находится по другую сторону линзы от предмета; если $f$ получается отрицательным, изображение мнимое и находится по ту же сторону линзы, что и предмет.

Почему рассеивающая линза никогда не даёт действительного изображения? Потому что рассеивающая линза увеличивает расхождение лучей, прошедших через неё, — после такой линзы лучи всегда расходятся, и действительное пересечение лучей (необходимое для действительного изображения) невозможно; глаз или экран воспринимает лишь кажущееся пересечение продолжений лучей позади линзы, что и создаёт мнимое изображение.

Почему при помещении предмета точно в фокус собирающей линзы изображение не образуется? Потому что лучи, вышедшие из точки, расположенной в фокусе линзы, после прохождения через линзу становятся параллельными друг другу и никогда не пересекаются (ни в действительности, ни в своих продолжениях) — а без пересечения лучей изображение точки не формируется.

Как связаны единицы измерения оптической силы и фокусного расстояния? Оптическая сила в диоптриях численно равна единице, делённой на фокусное расстояние, выраженное в метрах, — поэтому перед вычислением оптической силы фокусное расстояние обязательно нужно перевести в метры, даже если в условии задачи оно дано в сантиметрах.

Задачи для самостоятельного решения

Луч света падает из воздуха на воду ( $n=1{,}33$ ) под углом 40°. Запишите формулу для нахождения угла преломления (без вычисления значения синуса).
Предмет находится на расстоянии 25 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 15 см. Найдите расстояние до изображения.
Найдите оптическую силу линзы с фокусным расстоянием 40 см.
Предмет высотой 2 см находится на расстоянии 20 см от линзы с фокусным расстоянием 5 см. Найдите высоту изображения.
Предмет находится между линзой и фокусом собирающей линзы. Опишите характер получающегося изображения.
Объясните, почему увеличение линзы (или уменьшение) зависит от отношения расстояния до изображения к расстоянию до предмета.
Найдите радиус кривизны вогнутого зеркала, фокусное расстояние которого равно 15 см.
Предмет находится на расстоянии 45 см от вогнутого зеркала с фокусным расстоянием 30 см. Найдите расстояние до изображения, используя формулу сферического зеркала.