Газовые законы (изопроцессы)

В этой статье вы сможете узнать:

• чем изотермический, изобарный и изохорный процессы отличаются друг от друга;
• какие законы описывают каждый из этих процессов;
• как читать графики изопроцессов в разных осях координат.

Что такое изопроцесс

Изопроцесс — это процесс изменения состояния газа при постоянном значении одного из трёх параметров: температуры, давления или объёма, при неизменном количестве вещества газа.

Изотермический процесс (закон Бойля-Мариотта)

Изотермический процесс происходит при постоянной температуре ($T=\text{const}$). Закон Бойля-Мариотта: при постоянной температуре произведение давления газа на его объём постоянно:

$pV = \text{const} \quad \Leftrightarrow \quad p_1V_1 = p_2V_2$

Пример. Газ занимает объём 4 л при давлении $2\times10^5$ Па. Температуру поддерживают постоянной, объём уменьшают до 2 л. Найдите новое давление.

$p_2 = \dfrac{p_1V_1}{V_2} = \dfrac{2\times10^5\cdot4}{2} = 4\times10^5 \text{ Па}$

График изотермического процесса в осях $p$-$V$ представляет собой гиперболу (изотерму).

Изобарный процесс (закон Гей-Люссака)

Изобарный процесс происходит при постоянном давлении ($p=\text{const}$). Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объём газа прямо пропорционален абсолютной температуре:

$\dfrac{V}{T} = \text{const} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$

Пример. Газ занимает объём 3 л при температуре 300 К и постоянном давлении. Температуру повышают до 400 К. Найдите новый объём.

$V_2 = \dfrac{V_1T_2}{T_1} = \dfrac{3\cdot400}{300} = 4 \text{ л}$

График изобарного процесса в осях $V$-$T$ представляет собой прямую, проходящую через начало координат (при экстраполяции до абсолютного нуля).

Изохорный процесс (закон Шарля)

Изохорный процесс происходит при постоянном объёме ($V=\text{const}$). Закон Шарля: при постоянном объёме давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре:

$\dfrac{p}{T} = \text{const} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$

Пример. Газ в закрытом сосуде имеет давление $1{,}5\times10^5$ Па при температуре 250 К. Температуру повышают до 500 К. Найдите новое давление.

$p_2 = \dfrac{p_1T_2}{T_1} = \dfrac{1{,}5\times10^5\cdot500}{250} = 3\times10^5 \text{ Па}$

График изохорного процесса в осях $p$-$T$ также представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Общий газовый закон (объединённый газовый закон)

Если изменяются все три параметра газа (давление, объём и температура) при неизменном количестве вещества, применяется объединённый газовый закон:

$\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$

Все три частных случая (законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля) получаются из объединённого газового закона, если один из параметров зафиксирован.

Как читать графики изопроцессов на разных осях

Один и тот же процесс выглядит по-разному в зависимости от того, какие величины отложены по осям. Например, изобарный процесс на графике $p$-$V$ изображается горизонтальной прямой (давление не меняется), на графике $V$-$T$ — наклонной прямой через начало координат, а на графике $p$-$T$ — также горизонтальной прямой (давление постоянно при любой температуре).

Алгоритм решения задач на газовые законы

1. Определите, какой параметр газа остаётся постоянным (температура, давление или объём), или же меняются все три величины.
2. Если постоянна температура — используйте закон Бойля-Мариотта $p_1V_1=p_2V_2$.
3. Если постоянно давление — используйте закон Гей-Люссака $\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$.
4. Если постоянен объём — используйте закон Шарля $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$.
5. Если меняются все параметры — используйте объединённый газовый закон $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$.
6. Не забудьте перевести температуру в кельвины перед подстановкой в формулы.

Примеры решения

Пример 1. Газ при температуре 300 К и давлении $10^5$ Па занимает объём 2 л. Газ нагревают до 450 К, одновременно давление увеличивается до $1{,}5\times10^5$ Па. Найдите новый объём газа.

$\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = \dfrac{p_1V_1T_2}{T_1p_2} = \dfrac{10^5\cdot2\cdot450}{300\cdot1{,}5\times10^5} = \dfrac{9\times10^7}{4{,}5\times10^7} = 2 \text{ л}$

Ответ: объём не изменился, остался равным 2 л.

Пример 2. При постоянной температуре объём газа увеличили в 3 раза. Как изменилось давление?

По закону Бойля-Мариотта: $p_1V_1=p_2V_2 \Rightarrow p_2=\dfrac{p_1V_1}{V_2}=\dfrac{p_1V_1}{3V_1}=\dfrac{p_1}{3}$.

Ответ: давление уменьшилось в 3 раза.

Пример 3. Газ в закрытом сосуде охладили от 400 К до 200 К. Как изменилось его давление?

По закону Шарля: $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2} \Rightarrow p_2=\dfrac{p_1T_2}{T_1}=\dfrac{p_1\cdot200}{400}=\dfrac{p_1}{2}$.

Ответ: давление уменьшилось в 2 раза.

Часто задаваемые вопросы

Как быстро определить, какой газовый закон нужно использовать в задаче? Нужно найти в условии задачи, какая величина явно называется постоянной или не меняется по смыслу задачи (например, «закрытый жёсткий сосуд» означает постоянный объём, «открытый цилиндр с подвижным поршнем без трения» обычно означает постоянное давление) — это укажет, какой из трёх частных законов применим.

Можно ли использовать объединённый газовый закон вместо частных законов Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля? Да, объединённый газовый закон $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$ универсален и включает в себя все три частных случая — если один из параметров не меняется, соответствующий член сокращается, и получается нужный частный закон.

Почему на графике зависимости объёма от температуры при постоянном давлении прямая линия должна проходить через начало координат? Потому что закон Гей-Люссака утверждает прямую пропорциональность между объёмом и абсолютной температурой ($V=\text{const}\cdot T$) — а график прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат; на практике это означает, что при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, объём идеального газа стремился бы к нулю (реальные газы, разумеется, при этом переходят в жидкое или твёрдое состояние раньше).

Как отличить изобарный процесс от изохорного по графику в осях p-V? Изобарный процесс (постоянное давление) на графике $p$-$V$ изображается горизонтальной прямой линией, а изохорный процесс (постоянный объём) — вертикальной прямой линией; изотермический процесс отличается от обоих и изображается гиперболой.

Похожие темы для изучения

• Основы МКТ и уравнение состояния идеального газа
• Первый закон термодинамики и КПД тепловых машин
• Механические колебания и волны
• Работа, мощность, механическая энергия

Задачи для самостоятельного решения

1. Газ при постоянной температуре занимает объём 5 л при давлении $2\times10^5$ Па. Найдите давление, если объём уменьшили до 1 л.
2. Газ при постоянном давлении занимает объём 2 л при температуре 250 К. Найдите объём при температуре 500 К.
3. Газ в закрытом сосуде имеет давление $10^5$ Па при температуре 300 К. Найдите давление при температуре 600 К.
4. Газ занимает объём 4 л при давлении $10^5$ Па и температуре 200 К. Параметры изменились до объёма 2 л и температуры 400 К. Найдите новое давление.
5. При постоянном объёме давление газа увеличилось в 2 раза. Во сколько раз изменилась температура газа?
6. Объясните, почему изотермический процесс на графике p-V изображается гиперболой, а не прямой линией.