Незнайка
Вся теория
Теория· 6 мин чтения

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Формулы преобразования суммы и разности синусов и косинусов в произведение. Вывод из формул суммы аргументов и применение при решении уравнений.

В этой статье вы сможете узнать:

  • как превратить сумму или разность синусов (косинусов) в произведение;
  • откуда берутся эти формулы;
  • зачем нужно преобразование суммы в произведение и где оно применяется.

Основные формулы

Эти формулы позволяют заменить сумму или разность двух одноимённых тригонометрических функций на произведение — это и называется преобразованием суммы в произведение.

Сумма и разность синусов

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}

Сумма и разность косинусов

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}

Обратите внимание на формулу разности косинусов — единственную из четырёх, где в правой части стоит минус перед произведением.

Сумма и разность тангенсов

tg α+tg β=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}

tg α−tg β=sin⁡(α−β)cos⁡αcos⁡β\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}

Эти формулы имеют смысл только тогда, когда cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0 и cos⁡β≠0\cos\beta \neq 0, то есть tg α\mathrm{tg}\,\alpha и tg β\mathrm{tg}\,\beta определены.

Как получить эти формулы

Формулы суммы и разности тригонометрических функций напрямую следуют из формул суммы и разности аргументов. Введём вспомогательные углы x=α+β2x = \dfrac{\alpha+\beta}{2} и y=α−β2y = \dfrac{\alpha-\beta}{2}, тогда α=x+y\alpha = x+y и β=x−y\beta = x-y — в этих обозначениях и будем выводить все четыре формулы.

Для вывода понадобятся уже известные формулы суммы и разности аргументов:

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡ysin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x+y) = \sin x\cos y+\cos x\sin y \qquad \sin(x-y) = \sin x\cos y-\cos x\sin y

cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡ycos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y\cos(x+y) = \cos x\cos y-\sin x\sin y \qquad \cos(x-y) = \cos x\cos y+\sin x\sin y

Вывод формулы суммы синусов. Сложим первые два равенства:

sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡xcos⁡y\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x\cos y

Слева стоит sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha + \sin\beta. Подставляя x=α+β2x = \dfrac{\alpha+\beta}{2}, y=α−β2y = \dfrac{\alpha-\beta}{2}, получаем:

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}

Вывод формулы разности синусов. Теперь вычтем эти же два равенства друг из друга:

sin⁡(x+y)−sin⁡(x−y)=2cos⁡xsin⁡y\sin(x+y) - \sin(x-y) = 2\cos x\sin y

Слева получается sin⁡α−sin⁡β\sin\alpha - \sin\beta, откуда:

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}

Вывод формулы суммы косинусов. Сложим формулы косинуса суммы и разности:

cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=2cos⁡xcos⁡y\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x\cos y

Слева стоит cos⁡α+cos⁡β\cos\alpha + \cos\beta, откуда:

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}

Вывод формулы разности косинусов. Вычтем те же формулы в обратном порядке:

cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)=2sin⁡xsin⁡y\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2\sin x\sin y

Слева получается cos⁡β−cos⁡α\cos\beta - \cos\alpha, то есть cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡xsin⁡y\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin x\sin y, откуда:

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}

Именно из-за перестановки cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)\cos(x-y) - \cos(x+y) (а не наоборот) в этой формуле и появляется минус перед произведением.

Вывод формул для тангенса. Формулы суммы и разности тангенсов получаются проще — прямо из определения тангенса и формул синуса суммы/разности:

tg α+tg β=sin⁡αcos⁡α+sin⁡βcos⁡β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\sin\beta}{\cos\beta} = \dfrac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}

Разность тангенсов выводится точно так же, только через sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta в числителе.

Зачем нужно преобразование суммы в произведение

Главная практическая польза этих формул — возможность превратить уравнение вида «сумма тригонометрических функций равна нулю» в уравнение вида «произведение равно нулю», которое затем распадается на более простые случаи. Например, выражение sin⁡3x+sin⁡x\sin 3x + \sin x само по себе разложить на множители нельзя, а после преобразования в произведение 2sin⁡2xcos⁡x2\sin 2x\cos x это делается сразу.

Алгоритм применения

  1. Определите, что стоит в выражении — сумма или разность синусов, косинусов или тангенсов.
  2. Выберите соответствующую формулу и вычислите α+β2\dfrac{\alpha+\beta}{2} и α−β2\dfrac{\alpha-\beta}{2}.
  3. Подставьте эти значения в формулу и запишите результат в виде произведения.
  4. Если цель — решить уравнение, приравняйте каждый из множителей к нулю по отдельности.

В каких заданиях ЕГЭ встречаются эти формулы

Профильный уровень. Преобразование суммы в произведение — рабочий приём в первую очередь для одного номера:

  • задание 13 (тригонометрическое уравнение) — уравнения вида sin⁡3x+sin⁡x=0\sin 3x + \sin x = 0 или cos⁡5x−cos⁡x=0\cos 5x - \cos x = 0 решаются именно через переход к произведению, после чего уравнение распадается на более простые.

Примеры решения

Пример 1. Вычислите sin⁡75∘+sin⁡15∘\sin 75^\circ + \sin 15^\circ.

sin⁡75∘+sin⁡15∘=2sin⁡75∘+15∘2cos⁡75∘−15∘2=2sin⁡45∘cos⁡30∘=2⋅22⋅32=62\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin\dfrac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\dfrac{75^\circ-15^\circ}{2} = 2\sin 45^\circ\cos 30^\circ = 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}

Ответ: 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}.

Пример 2. Решите уравнение sin⁡3x+sin⁡x=0\sin 3x + \sin x = 0.

Преобразуем сумму в произведение:

sin⁡3x+sin⁡x=2sin⁡3x+x2cos⁡3x−x2=2sin⁡2xcos⁡x\sin 3x + \sin x = 2\sin\dfrac{3x+x}{2}\cos\dfrac{3x-x}{2} = 2\sin 2x\cos x

Уравнение принимает вид 2sin⁡2xcos⁡x=02\sin 2x\cos x = 0, то есть sin⁡2x=0\sin 2x = 0 или cos⁡x=0\cos x = 0.

Из sin⁡2x=0\sin 2x = 0 получаем x=πn2x = \dfrac{\pi n}{2}, а из cos⁡x=0\cos x = 0 — x=π2+πnx = \dfrac{\pi}{2}+\pi n (это решение уже входит в первую серию).

Ответ: x=πn2x = \dfrac{\pi n}{2}, n∈Zn \in \mathbb{Z}.

Пример 3. Упростите выражение cos⁡α−cos⁡βsin⁡α+sin⁡β\dfrac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.

Преобразуем числитель и знаменатель отдельно:

−2sin⁡α+β2sin⁡α−β22sin⁡α+β2cos⁡α−β2=−sin⁡α−β2cos⁡α−β2=−tg α−β2\dfrac{-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\dfrac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\mathrm{tg}\,\dfrac{\alpha-\beta}{2}

Ответ: −tg α−β2-\mathrm{tg}\,\dfrac{\alpha-\beta}{2}.

Часто задаваемые вопросы

Как запомнить, в какой из четырёх формул стоит минус? Минус стоит только в формуле разности косинусов — во всех остальных трёх формулах (сумма синусов, разность синусов, сумма косинусов) правая часть положительна при соответствующем порядке множителей.

Обязательно ли переводить уравнение с суммой синусов или косинусов в произведение? Не всегда обязательно, но почти всегда полезно: сумма или разность одноимённых функций сама по себе не раскладывается на множители, а после перехода к произведению уравнение сразу сводится к простейшим случаям.

Чем эта тема отличается от формул суммы и разности аргументов? Формулы суммы и разности аргументов раскрывают sin⁡(α±β)\sin(\alpha\pm\beta) или cos⁡(α±β)\cos(\alpha\pm\beta) — то есть функцию от суммы углов. Здесь же речь о сумме или разности двух готовых значений функции, sin⁡α±sin⁡β\sin\alpha \pm \sin\beta, которую нужно, наоборот, свернуть в произведение.

Работают ли формулы, если α\alpha и β\beta — не углы, а произвольные выражения? Да, формулы верны для любых значений α\alpha и β\beta, в том числе если это выражения с переменной, например 3x3x и xx — именно так они чаще всего и используются в уравнениях.

Похожие темы для изучения

  • Формулы суммы и разности аргументов
  • Формулы двойного угла
  • Простейшие тригонометрические уравнения
  • Сложные тригонометрические уравнения

Задачи для самостоятельного решения

  1. Вычислите cos⁡105∘+cos⁡15∘\cos 105^\circ + \cos 15^\circ.
  2. Решите уравнение cos⁡5x−cos⁡x=0\cos 5x - \cos x = 0.
  3. Упростите выражение sin⁡α+sin⁡βcos⁡α+cos⁡β\dfrac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}.
  4. Вычислите sin⁡105∘−sin⁡15∘\sin 105^\circ - \sin 15^\circ.
  5. Решите уравнение sin⁡x+sin⁡5x=0\sin x + \sin 5x = 0.
  6. Докажите, что tg α−tg β=sin⁡(α−β)cos⁡αcos⁡β\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}.