Незнайка
Вся теория
Теория· 5 мин чтения

Формулы суммы и разности аргументов в тригонометрии

Формулы sin(α±β), cos(α±β) и tg(α±β): как выразить тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов через функции каждого угла отдельно.

В этой статье вы сможете узнать:

  • как выразить синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов;
  • как связаны эти формулы с формулами двойного угла;
  • как применять формулы суммы и разности при вычислении значений и упрощении выражений.

Основные формулы

Формулы суммы и разности аргументов позволяют выразить тригонометрическую функцию от α+β\alpha+\beta или α−β\alpha-\beta через синусы и косинусы углов α\alpha и β\beta по отдельности.

Синус суммы и разности

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta

Косинус суммы и разности

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

Обратите внимание: у синуса знак в правой части совпадает со знаком в левой части, а у косинуса — меняется на противоположный.

Тангенс суммы и разности

tg(α+β)=tg α+tg β1−tg α tg β\mathrm{tg}(\alpha+\beta) = \dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha+\mathrm{tg}\,\beta}{1-\mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta}

tg(α−β)=tg α−tg β1+tg α tg β\mathrm{tg}(\alpha-\beta) = \dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha-\mathrm{tg}\,\beta}{1+\mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta}

Формулы тангенса имеют смысл только тогда, когда определены tg α\mathrm{tg}\,\alpha, tg β\mathrm{tg}\,\beta и сам tg(α±β)\mathrm{tg}(\alpha \pm \beta), а знаменатель не обращается в ноль.

Как формулы двойного угла следуют из формул суммы

Формулы суммы и разности — более общие, чем формулы двойного угла: если положить β=α\beta = \alpha, формулы суммы превращаются ровно в формулы двойного угла. Например:

sin⁡(α+α)=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α\sin(\alpha+\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha

cos⁡(α+α)=cos⁡αcos⁡α−sin⁡αsin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α=cos⁡2α\cos(\alpha+\alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha

То есть формулы двойного угла — это частный случай формул суммы аргументов при равных углах.

Как получить формулы тройного угла

Формулы суммы аргументов позволяют вывести и формулы для тройного угла — достаточно представить 3α3\alpha как 2α+α2\alpha + \alpha и применить формулу суммы, а затем подставить уже известные формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество.

Синус тройного угла

sin⁡3α=sin⁡(2α+α)=sin⁡2αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡α\sin 3\alpha = \sin(2\alpha+\alpha) = \sin 2\alpha\cos\alpha + \cos 2\alpha\sin\alpha

Подставляем sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha и cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha:

sin⁡3α=2sin⁡αcos⁡2α+(1−2sin⁡2α)sin⁡α\sin 3\alpha = 2\sin\alpha\cos^2\alpha + (1-2\sin^2\alpha)\sin\alpha

Заменяем cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha по основному тождеству и приводим подобные слагаемые:

sin⁡3α=2sin⁡α(1−sin⁡2α)+sin⁡α−2sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha) + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha

Косинус тройного угла

cos⁡3α=cos⁡(2α+α)=cos⁡2αcos⁡α−sin⁡2αsin⁡α\cos 3\alpha = \cos(2\alpha+\alpha) = \cos 2\alpha\cos\alpha - \sin 2\alpha\sin\alpha

Подставляем cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 и sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, затем заменяем sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha:

cos⁡3α=(2cos⁡2α−1)cos⁡α−2cos⁡α(1−cos⁡2α)=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = (2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha - 2\cos\alpha(1-\cos^2\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha

Тангенс тройного угла

Аналогичным образом, через tg(2α+α)\mathrm{tg}(2\alpha+\alpha) и формулу тангенса двойного угла, получается:

tg 3α=3 tg α−tg3α1−3 tg2α\mathrm{tg}\,3\alpha = \dfrac{3\,\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}^3\alpha}{1-3\,\mathrm{tg}^2\alpha}

Этот же приём — представить угол как сумму уже знакомых углов и последовательно подставлять более простые формулы — работает для вывода формул любого кратного угла, не только тройного.

Алгоритм применения

  1. Представьте нужный угол как сумму или разность двух углов, значения функций которых известны (чаще всего это углы 30°, 45°, 60°, 90°).
  2. Выберите нужную формулу — синуса, косинуса или тангенса суммы либо разности.
  3. Подставьте известные значения sin, cos (или tg) каждого из двух углов.
  4. Упростите получившееся выражение.

В каких заданиях ЕГЭ встречаются эти формулы

Профильный уровень. Формулы суммы и разности нужны в основном в тех же номерах, что и формулы двойного угла:

  • задание 7 (вычисление значения выражения) — вычисление sin, cos или tg «нестандартных» углов вроде 15°, 75°, 105° через разложение на сумму или разность табличных углов;
  • задание 13 (тригонометрическое уравнение) — приведение выражения вида sin⁡xcos⁡a+cos⁡xsin⁡a\sin x\cos a + \cos x\sin a к более простому виду sin⁡(x+a)\sin(x+a) часто помогает свести уравнение к простейшему.

Примеры решения

Пример 1. Вычислите sin⁡75∘\sin 75^\circ.

Представим 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ и применим формулу синуса суммы:

sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24\sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Ответ: 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

Пример 2. Вычислите cos⁡15∘\cos 15^\circ.

Представим 15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ и применим формулу косинуса разности:

cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24\cos 15^\circ = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Ответ: 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

Пример 3. Упростите выражение sin⁡xcos⁡2x+cos⁡xsin⁡2x\sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x.

Это выражение — правая часть формулы синуса суммы с α=x\alpha = x, β=2x\beta = 2x:

sin⁡xcos⁡2x+cos⁡xsin⁡2x=sin⁡(x+2x)=sin⁡3x\sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x = \sin(x+2x) = \sin 3x

Ответ: sin⁡3x\sin 3x.

Часто задаваемые вопросы

Как запомнить, где в формулах менять знак, а где нет? У синуса знак между слагаемыми в правой части совпадает со знаком между α\alpha и β\beta в левой части. У косинуса — наоборот, знак меняется на противоположный.

Можно ли получить формулы двойного угла, не запоминая их отдельно? Да, если помнить формулы суммы аргументов, формулы двойного угла легко восстановить подстановкой β=α\beta = \alpha — отдельно их запоминать не обязательно, хотя на практике это ускоряет решение.

Зачем нужны формулы для тангенса суммы и разности, если можно выразить через синус и косинус? Формулы для тангенса иногда позволяют решить задачу за один шаг, не расписывая tg через sin и cos отдельно — особенно удобно, когда в условии уже даны именно значения тангенса.

Работают ли эти формулы для отрицательных углов? Да, формулы верны для любых α\alpha и β\beta, включая отрицательные и углы больше 360°360° — никаких ограничений на знак или величину углов нет.

Похожие темы для изучения

  • Формулы двойного угла
  • Формулы половинного угла (понижения степени)
  • Формулы приведения
  • Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Задачи для самостоятельного решения

  1. Вычислите sin⁡15∘\sin 15^\circ.
  2. Вычислите cos⁡75∘\cos 75^\circ.
  3. Упростите выражение cos⁡xcos⁡3x−sin⁡xsin⁡3x\cos x\cos 3x - \sin x\sin 3x.
  4. Докажите формулу tg(α+β)=tg α+tg β1−tg α tg β\mathrm{tg}(\alpha+\beta) = \dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha+\mathrm{tg}\,\beta}{1-\mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta}, исходя из формул синуса и косинуса суммы.
  5. Вычислите tg 15∘\mathrm{tg}\,15^\circ, представив 15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ.
  6. Упростите выражение sin⁡(x+y)−sin⁡(x−y)\sin(x+y) - \sin(x-y).