Формулы приведения в тригонометрии

В этой статье вы сможете узнать:

что такое формулы приведения и для чего они нужны;
как быстро вспомнить нужную формулу без зубрёжки всей таблицы;
как применять формулы приведения при вычислении значений тригонометрических функций.

Что такое формулы приведения

Формулы приведения — это набор тождеств, которые позволяют выразить синус, косинус, тангенс или котангенс угла вида π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α (то есть 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α, 360° ± α) через тригонометрическую функцию самого угла α. По сути, они «приводят» вычисление функции произвольного угла к вычислению функции острого угла — отсюда и название.

Таблица формул приведения

Выражение	sin	cos	tg	ctg
90° − α	cos α	sin α	ctg α	tg α
90° + α	cos α	−sin α	−ctg α	−tg α
180° − α	sin α	−cos α	−tg α	−ctg α
180° + α	−sin α	−cos α	tg α	ctg α
270° − α	−cos α	−sin α	ctg α	tg α
270° + α	−cos α	sin α	−ctg α	−tg α
360° − α	−sin α	cos α	−tg α	−ctg α
360° + α	sin α	cos α	tg α	ctg α

Каждая ячейка таблицы читается как отдельная формула: например, строка «180° − α», столбец sin даёт sin(180° − α) = sin α.

Тригонометрическая окружность с углами в радианах и значениями синуса и косинуса

По этой окружности видно, откуда берётся таблица: угол 90° − α получается отражением α относительно биссектрисы первой четверти, угол 180° − α — отражением относительно оси y, и так далее — каждой паре точек на окружности соответствует своя строка таблицы.

Мнемоническое правило («правило лошади»)

Запоминать всю таблицу не нужно — есть правило из двух шагов.

Шаг 1. Меняется ли название функции. Если угол получен поворотом на 90° или 270° (то есть в выражении фигурирует 90° ± α или 270° ± α), название функции меняется на кофункцию: синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот. Если угол получен поворотом на 180° или 360°, название функции остаётся прежним. Именно за смену названия на «противоположное» это правило иногда в шутку называют «правилом лошади» — «на 90 и 270 конь взбрыкивает и меняет функцию, на 180 и 360 идёт ровно».

Шаг 2. Определяется знак. Чтобы найти знак результата, нужно мысленно считать α острым углом (то есть углом первой четверти) и посмотреть, в какой четверти окружности окажется исходное выражение (90° ± α, 180° ± α и так далее). Знаком результата будет знак исходной функции (той, что была до замены на шаге 1) именно в этой четверти.

Например, для tg(180° + α): переход через 180° — название функции не меняется, остаётся тангенс. Угол 180° + α при остром α лежит в третьей четверти, где тангенс положителен. Значит, tg(180° + α) = +tg α — это совпадает со значением в таблице.

Как применять формулы приведения: алгоритм

Определите, на какой угол (90°, 180°, 270° или 360°) выполняется приведение в данном выражении.
По шагу 1 мнемонического правила определите, меняется ли название функции на кофункцию.
По шагу 2 определите знак — через четверть, в которой окажется угол при остром α.
Запишите итоговую формулу и подставьте известное значение α.

Примеры решения

Пример 1. Вычислите sin 150°.

150° = 180° − 30°. Переход через 180° — название функции сохраняется: sin(180° − α) = sin α. Значит, sin 150° = sin 30° = 1/2.

Ответ: sin 150° = 1/2.

Пример 2. Вычислите cos 120°.

120° = 90° + 30°. Переход через 90° — название функции меняется на кофункцию: cos(90° + α) = −sin α. Значит, cos 120° = −sin 30° = −1/2.

Ответ: cos 120° = −1/2.

Пример 3. Вычислите ctg 300°.

300° = 270° + 30°. Переход через 270° — название функции меняется: ctg(270° + α) = −tg α. Значит, ctg 300° = −tg 30° = −√3/3.

Ответ: ctg 300° = −√3/3.

Часто задаваемые вопросы

Работают ли формулы приведения, если угол задан в радианах? Да, формулы точно такие же — просто вместо 90°, 180°, 270°, 360° используются π/2, π, 3π/2, 2π.

Обязательно ли запоминать всю таблицу из 32 формул? Нет, достаточно выучить мнемоническое правило из двух шагов — оно позволяет за несколько секунд восстановить любую нужную формулу, не держа в памяти таблицу целиком.

Как быстро определить, в какой четверти окажется угол на шаге 2 правила? Нужно подставить вместо α любое небольшое положительное значение (например, представить, что α — это угол около 10–20°), прибавить или отнять его от 90°, 180°, 270° или 360° и посмотреть, в какую четверть попадает результат.

Чем формулы приведения отличаются от формул суммы и разности аргументов? Формулы приведения — частный случай, где один из углов всегда кратен 90°; они получаются из более общих формул суммы и разности аргументов, но их удобнее использовать как готовый набор правил, а не выводить каждый раз заново.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислите cos 210°, используя формулы приведения.
Вычислите tg 135°.
Упростите выражение sin(90° + α) + cos(180° − α).
Вычислите sin 300°.
Упростите выражение ctg(270° − α) · tg(180° + α).
Вычислите cos 315°.