Незнайка
Вся теория
Теория· 5 мин чтения

Формулы половинного угла и понижения степени

Формулы понижения степени для sin²α и cos²α, формулы половинного угла sin(α/2), cos(α/2), tg(α/2). Вывод, правило знака и примеры.

В этой статье вы сможете узнать:

  • что такое формулы понижения степени и формулы половинного угла;
  • как они связаны между собой и с формулами двойного угла;
  • как определить знак при вычислении функции половинного угла.

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выражают квадрат синуса и косинуса через косинус двойного угла — это позволяет заменить вторую степень тригонометрической функции на выражение первой степени от удвоенного угла:

sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = \dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}

cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = \dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}

Обе формулы — это просто иначе записанные формулы косинуса двойного угла cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha и cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1, из которых sin⁡2α\sin^2\alpha и cos⁡2α\cos^2\alpha выражены в явном виде.

Формулы половинного угла

Если в формулах понижения степени заменить α\alpha на α2\dfrac{\alpha}{2}, а 2α2\alpha — на α\alpha, получаются формулы, выражающие функции половинного угла через функцию полного угла:

sin⁡α2=±1−cos⁡α2\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}

cos⁡α2=±1+cos⁡α2\cos\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}

tg α2=±1−cos⁡α1+cos⁡α\mathrm{tg}\,\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}

Тангенс половинного угла удобно также записывать без квадратного корня и без неоднозначности знака — сразу через синус и косинус полного угла:

tg α2=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α\mathrm{tg}\,\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}

Эти две формы тангенса половинного угла равносильны и не требуют выбора знака — знак в них учитывается автоматически через знаки sin⁡α\sin\alpha и cos⁡α\cos\alpha.

Как выбрать знак перед корнем

В формулах для sin⁡α2\sin\dfrac{\alpha}{2} и cos⁡α2\cos\dfrac{\alpha}{2} знак нельзя определить по формуле — его нужно определять отдельно, в зависимости от того, в какой четверти лежит именно угол α2\dfrac{\alpha}{2} (а не исходный угол α\alpha). Например, если известно, что α2\dfrac{\alpha}{2} лежит во второй четверти, то sin⁡α2>0\sin\dfrac{\alpha}{2} > 0, а cos⁡α2<0\cos\dfrac{\alpha}{2} < 0 — соответствующий знак и берётся перед корнем.

Алгоритм применения

  1. Определите, что нужно в задаче: понизить степень выражения (заменить sin⁡2α\sin^2\alpha или cos⁡2α\cos^2\alpha) или, наоборот, найти значение функции половинного угла.
  2. Для понижения степени примените формулу с cos⁡2α\cos 2\alpha напрямую — здесь знак определять не нужно.
  3. Для половинного угла определите, в какой четверти лежит угол α2\dfrac{\alpha}{2}, и выберите нужный знак перед корнем (или используйте безопасную форму тангенса без корня и без выбора знака).
  4. Подставьте известные значения и упростите выражение.

В каких заданиях ЕГЭ встречаются эти формулы

Базовый уровень. Как и в целом с тригонометрией, на базовом уровне эти формулы не встречаются — там нет заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Профильный уровень. Формулы половинного угла напрямую в ЕГЭ спрашивают редко, но формулы понижения степени регулярно оказываются полезны:

  • задание 7 (вычисление значения выражения) — иногда выражение с sin⁡2α\sin^2\alpha или cos⁡2α\cos^2\alpha быстрее свернуть через формулу понижения степени, чем раскладывать по-другому;
  • задание 8 (первообразная) — при нахождении первообразной для sin⁡2x\sin^2 x или cos⁡2x\cos^2 x формулы понижения степени — стандартный приём, без них выражение не удаётся проинтегрировать по таблице первообразных напрямую;
  • задание 13 (тригонометрическое уравнение) — иногда понижение степени превращает уравнение с квадратами функций в более простое линейное относительно cos⁡2x\cos 2x.

Примеры решения

Пример 1. Найдите значение cos⁡215∘\cos^2 15^\circ.

Применим формулу понижения степени: cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = \dfrac{1+\cos 2\alpha}{2} при α=15∘\alpha = 15^\circ, то есть 2α=30∘2\alpha = 30^\circ.

Известно, что cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Получаем:

cos⁡215∘=1+322=2+34\cos^2 15^\circ = \dfrac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4}

Ответ: 2+34\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}.

Пример 2. Упростите выражение 6cos⁡2x−36\cos^2 x - 3.

Применим формулу понижения степени: cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}.

6cos⁡2x−3=6⋅1+cos⁡2x2−3=3(1+cos⁡2x)−3=3cos⁡2x6\cos^2 x - 3 = 6\cdot\dfrac{1+\cos 2x}{2} - 3 = 3(1+\cos 2x) - 3 = 3\cos 2x

Ответ: 3cos⁡2x3\cos 2x.

Пример 3. Дано cos⁡α=725\cos\alpha = \dfrac{7}{25}, угол α2\dfrac{\alpha}{2} лежит в первой четверти. Найдите sin⁡α2\sin\dfrac{\alpha}{2}.

По формуле половинного угла: sin⁡α2=±1−cos⁡α2=±1−7252=±925=±35\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\frac{7}{25}}{2}} = \pm\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \pm\dfrac{3}{5}.

Угол α2\dfrac{\alpha}{2} лежит в первой четверти, где синус положителен, поэтому берём знак «плюс».

Ответ: sin⁡α2=35\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{3}{5}.

Часто задаваемые вопросы

Чем формулы половинного угла отличаются от формул понижения степени? Это, по сути, одна и та же формула, записанная для разных задач: понижение степени выражает sin⁡2α\sin^2\alpha и cos⁡2α\cos^2\alpha через cos⁡2α\cos 2\alpha, а половинный угол — выражает sin⁡α2\sin\dfrac{\alpha}{2} и cos⁡α2\cos\dfrac{\alpha}{2} через cos⁡α\cos\alpha; вторая получается из первой заменой переменной.

Почему в формулах половинного угла стоит знак ±, а не конкретный знак? Потому что при извлечении квадратного корня знак нужно определять отдельно — по тому, в какой четверти лежит угол половинного аргумента, а не по самой формуле.

Можно ли обойтись без формулы с корнем при вычислении тангенса половинного угла? Да, для тангенса есть безопасные формы tg α2=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α\mathrm{tg}\,\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}, которые не требуют извлечения корня и определения знака.

Зачем вообще нужно понижать степень тригонометрической функции? Это упрощает дальнейшие преобразования: линейное выражение с cos⁡2α\cos 2\alpha часто проще анализировать, интегрировать или подставлять в уравнение, чем выражение со второй степенью синуса или косинуса.

Похожие темы для изучения

  • Формулы двойного угла
  • Формулы суммы и разности аргументов
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Тригонометрическая окружность

Задачи для самостоятельного решения

  1. Упростите выражение 2sin⁡2x−12\sin^2 x - 1.
  2. Найдите первообразную функции f(x)=cos⁡2xf(x) = \cos^2 x.
  3. Дано cos⁡α=13\cos\alpha = \dfrac{1}{3}, угол α2\dfrac{\alpha}{2} лежит во второй четверти. Найдите cos⁡α2\cos\dfrac{\alpha}{2}.
  4. Упростите выражение 1−cos⁡2x1+cos⁡2x\dfrac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}.
  5. Выразите tg α2\mathrm{tg}\,\dfrac{\alpha}{2} через sin⁡α\sin\alpha и cos⁡α\cos\alpha без использования квадратного корня.
  6. Докажите, что sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, используя формулы понижения степени.