Формулы логарифмов для ЕГЭ по математике

В этой статье вы сможете узнать:

• какие есть основные формулы (свойства) логарифмов;
• как перейти от логарифма по одному основанию к логарифму по другому;
• что такое десятичный и натуральный логарифм.

Основное логарифмическое тождество

$a^{\log_a b} = b, \quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0$

Это тождество — прямое следствие определения логарифма: $\log_a b$ по определению и есть та степень, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$, поэтому возведение $a$ в эту степень возвращает исходное число $b$.

Доказательство. Обозначим $c = \log_a b$. По определению логарифма это означает, что $a^c = b$. Подставив $c = \log_a b$ обратно, получаем $a^{\log_a b} = a^c = b$, что и требовалось показать.

Логарифм произведения, частного и степени

Логарифм произведения

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \quad x>0,\ y>0$

Доказательство. Обозначим $m = \log_a x$, $n = \log_a y$. По определению логарифма $a^m = x$ и $a^n = y$. Перемножим эти равенства:

$a^m\cdot a^n = xy \quad\Rightarrow\quad a^{m+n} = xy$

По определению логарифма последнее равенство означает, что $\log_a(xy) = m+n = \log_a x + \log_a y$.

Логарифм частного

$\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad x>0,\ y>0$

Доказательство. С теми же обозначениями $m = \log_a x$, $n = \log_a y$ разделим равенства $a^m=x$ и $a^n=y$ друг на друга:

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{x}{y} \quad\Rightarrow\quad a^{m-n} = \dfrac{x}{y}$

По определению логарифма $\log_a\dfrac{x}{y} = m-n = \log_a x - \log_a y$.

Логарифм степени

$\log_a(x^p) = p\log_a x, \quad x>0$

Доказательство. Обозначим $m = \log_a x$, тогда $a^m = x$. Возведём обе части в степень $p$:

$(a^m)^p = x^p \quad\Rightarrow\quad a^{mp} = x^p$

По определению логарифма $\log_a(x^p) = mp = p\log_a x$.

Логарифм корня — частный случай логарифма степени при $p = \dfrac{1}{n}$:

$\log_a\sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n}\log_a x, \quad x>0$

Доказательство. Так как $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$, эта формула — прямое следствие формулы логарифма степени при $p = \dfrac{1}{n}$: $\log_a\left(x^{1/n}\right) = \dfrac{1}{n}\log_a x$.

Важно: во всех трёх формулах (произведения, частного, степени) требуется, чтобы каждое из чисел под логарифмом по отдельности было положительным — нельзя, например, применить формулу логарифма произведения к $\log_a((-2)\cdot(-3))$, разложив её как $\log_a(-2) + \log_a(-3)$, хотя произведение $(-2)\cdot(-3) = 6$ и положительно.

Переход к новому основанию

$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}, \quad c>0,\ c\neq 1$

Эта формула позволяет заменить логарифм по одному основанию на отношение двух логарифмов по любому другому удобному основанию $c$ — например, чтобы вычислить логарифм на калькуляторе, у которого есть только десятичные или натуральные логарифмы.

Доказательство. Обозначим $x = \log_a b$, тогда по определению $a^x = b$. Прологарифмируем обе части по основанию $c$:

$\log_c(a^x) = \log_c b$

По формуле логарифма степени левая часть равна $x\log_c a$, значит:

$x\log_c a = \log_c b \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

То есть $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$.

Частный случай. Если в качестве нового основания взять сам аргумент исходного логарифма ($c = b$), получается полезное следствие:

$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$

Доказательство. Подставим $c = b$ в формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \dfrac{\log_b b}{\log_b a}$. Поскольку $\log_b b = 1$, получаем $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$.

Десятичный и натуральный логарифм

Для двух конкретных оснований существуют отдельные обозначения, без явного указания основания:

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10: $\lg b = \log_{10} b$.

Натуральный логарифм — логарифм по основанию $e$ (число Эйлера, $e \approx 2{,}718$): $\ln b = \log_e b$.

Все формулы выше — тождество, произведение, частное, степень, переход к новому основанию — справедливы и для $\lg$, и для $\ln$ точно так же, как для логарифма с произвольным основанием $a$.

Алгоритм применения

1. Определите, какое преобразование нужно: раскрыть логарифм произведения/частного/степени, свернуть сумму или разность логарифмов в один, или перейти к другому основанию.
2. Проверьте область допустимых значений — каждое выражение под логарифмом должно быть положительным до применения формулы.
3. Примените нужную формулу, при необходимости — в несколько шагов подряд.
4. Если требуется числовой ответ, при переходе к новому основанию выберите основание, для которого известны нужные значения (обычно 10 или $e$, если считаете на калькуляторе, либо любое удобное целое число при вычислении вручную).

В каких заданиях ЕГЭ встречаются формулы логарифмов

Базовый уровень. Логарифмы изредка встречаются в заданиях 16 и 17 базового уровня — обычно в виде простого вычисления или несложного уравнения с логарифмом, где достаточно базовых свойств.

Профильный уровень. Формулы логарифмов — один из самых часто используемых инструментов сразу в нескольких номерах:

• задание 6 (простейшие уравнения) — упрощение логарифмического выражения перед решением;
• задание 7 (вычисление значения выражения) — прямое применение свойств логарифмов для свёртки или вычисления числового значения;
• задание 12 (исследование функции с помощью производной) — иногда логарифмическое выражение в условии сначала нужно упростить по этим формулам, и только потом брать производную;
• задание 13 (логарифмическое уравнение) и задание 15 (логарифмическое неравенство) — оба типа заданий почти всегда требуют преобразования выражения по этим формулам перед решением.

Примеры решения

Пример 1. Вычислите $\log_2 5 + \log_2 6{,}4$.

Применим формулу логарифма произведения:

$\log_2 5 + \log_2 6{,}4 = \log_2(5\cdot 6{,}4) = \log_2 32 = 5$

Ответ: $5$.

Пример 2. Вычислите $\log_3 162 - \log_3 2$.

Применим формулу логарифма частного:

$\log_3 162 - \log_3 2 = \log_3\dfrac{162}{2} = \log_3 81 = 4$

Ответ: $4$.

Пример 3. Вычислите $\log_9 4 \cdot \log_2 3$.

Перейдём в первом множителе к основанию 3, используя $9 = 3^2$ и свойство логарифма степени для основания:

$\log_9 4 = \dfrac{\log_3 4}{\log_3 9} = \dfrac{\log_3 4}{2}$

Тогда:

$\log_9 4 \cdot \log_2 3 = \dfrac{\log_3 4}{2}\cdot\log_2 3 = \dfrac{1}{2}\cdot\log_3 4\cdot\log_2 3$

Заметим, что $\log_2 3 = \dfrac{1}{\log_3 2}$, а $\log_3 4 = 2\log_3 2$, поэтому:

$\dfrac{1}{2}\cdot 2\log_3 2\cdot\dfrac{1}{\log_3 2} = 1$

Ответ: $1$.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли применять формулу логарифма произведения, если один из множителей отрицательный? Нет, формула требует, чтобы оба множителя были положительными по отдельности — даже если их произведение положительно, раскладывать логарифм на сумму в этом случае нельзя.

Чем отличаются lg и ln от log?

Это те же логарифмы, только с фиксированным основанием: $\lg$ — по основанию 10, $\ln$ — по основанию $e$. Все свойства логарифмов работают для них одинаково.

Зачем нужна формула перехода к новому основанию? Она позволяет вычислить логарифм с любым основанием через логарифмы с удобным основанием — например, через десятичный или натуральный логарифм на калькуляторе, или через основание, для которого в задаче уже известны нужные значения.

Как быстро проверить, что формула логарифма степени применена верно? Можно подставить конкретные числа: например, $\log_2 8^2 = \log_2 64 = 6$, и по формуле $2\log_2 8 = 2\cdot 3 = 6$ — значения совпадают, значит, формула применена правильно.

Похожие темы для изучения

• Что такое логарифм — определение и основные понятия
• Область допустимых значений в выражениях с логарифмом
• Логарифмическая функция: график и свойства
• Простейшие логарифмические уравнения

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите $\log_5 3 + \log_5 75$.
2. Вычислите $\log_7 98 - \log_7 2$.
3. Вычислите $\log_4 8$, используя переход к основанию 2.
4. Упростите выражение $\log_a x^3 - 3\log_a x$.
5. Вычислите $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 2$.
6. Докажите формулу $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$, используя переход к новому основанию.