Что такое логарифм — определение и основные понятия

В этой статье вы сможете узнать:

• что такое логарифм и как его понимать простыми словами;
• какие ограничения накладываются на основание и аргумент логарифма;
• как вычислить логарифм числа, не используя калькулятор.

Определение логарифма

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Записывается это как $\log_a b$.

По определению:

$\log_a b = c \iff a^c = b$

То есть логарифм и возведение в степень — взаимно обратные операции: если $2^3 = 8$, то $\log_2 8 = 3$, и наоборот.

Ограничения на основание и аргумент

Логарифм $\log_a b$ определён не для любых $a$ и $b$ — есть три обязательных условия:

$a > 0, \quad a \neq 1, \quad b > 0$

Почему $a \neq 1$. Единица в любой степени даёт единицу: $1^c = 1$ при любом $c$. Значит, уравнение $1^c = b$ либо не имеет решений (если $b \neq 1$), либо имеет бесконечно много решений (если $b = 1$) — ни в том, ни в другом случае логарифм не был бы однозначно определённой функцией.

Почему $b > 0$. Поскольку основание $a$ положительно, любая его действительная степень $a^c$ тоже положительна. Значит, число вида $a^c$ никогда не может быть равно нулю или отрицательному числу — поэтому логарифм нуля и отрицательных чисел не существует.

Частные случаи

Из определения сразу следуют два полезных равенства, верных для любого допустимого основания $a$:

$\log_a 1 = 0$, потому что $a^0 = 1$ при любом $a$;

$\log_a a = 1$, потому что $a^1 = a$.

Как вычислить логарифм по определению

1. Запишите равенство $\log_a b = c$ как вопрос: «в какую степень нужно возвести $a$, чтобы получить $b$?».
2. Подберите такое $c$, чтобы $a^c = b$ — часто достаточно представить $b$ как степень числа $a$.
3. Если $b$ не удаётся представить как целую степень $a$, ответ может быть нецелым или иррациональным числом — в таких случаях логарифм обычно и оставляют в виде $\log_a b$, не вычисляя его до конца.

В каких заданиях ЕГЭ встречается эта тема

Базовый уровень. Логарифмы изредка встречаются в заданиях 16 и 17 базового уровня — обычно в виде простого вычисления или несложного уравнения с логарифмом.

Профильный уровень. Определение логарифма — основа для нескольких номеров, но напрямую вычисление логарифма по определению чаще всего встречается в задании 7 (вычисление значения выражения), где нужно быстро найти точное значение вроде $\log_3 81$ или $\log_2\frac{1}{4}$. Понимание самого определения также необходимо для решения логарифмических уравнений (задание 13) и неравенств (задание 15) — эти темы разобраны в отдельных статьях.

Примеры решения

Пример 1. Вычислите $\log_2 8$.

Нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 8. Так как $2^3 = 8$, получаем $\log_2 8 = 3$.

Ответ: $3$.

Пример 2. Вычислите $\log_5 1$.

По свойству $\log_a 1 = 0$ сразу получаем ответ, не проверяя степени отдельно.

Ответ: $0$.

Пример 3. Вычислите $\log_3\dfrac{1}{9}$.

Представим $\dfrac{1}{9}$ как степень 3: $\dfrac{1}{9} = 3^{-2}$. Значит, $\log_3\dfrac{1}{9} = -2$.

Ответ: $-2$.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли вычислить логарифм отрицательного числа? Нет, в области действительных чисел логарифм определён только для положительных аргументов — отрицательные числа и ноль не могут быть представлены как $a^c$ при положительном $a$.

Почему у логарифма не может быть основания 1? Потому что единица в любой степени равна единице, и уравнение $1^c = b$ либо не имеет решения, либо имеет их бесконечно много — логарифм с таким основанием не был бы корректно определённой функцией.

Что делать, если число не представляется как целая степень основания? Тогда логарифм — иррациональное число, которое обычно не вычисляют точно, а оставляют в виде выражения с логарифмом или находят приближённо; для преобразования таких выражений используются свойства логарифмов.

Чем логарифм отличается от корня? Корень $n$-й степени находит основание степени по известному показателю и результату (например, $\sqrt[3]{8}=2$, потому что $2^3=8$), а логарифм, наоборот, находит показатель степени по известному основанию и результату.

Похожие темы для изучения

• Формулы логарифмов
• Область допустимых значений в выражениях с логарифмом
• Логарифмическая функция: график и свойства
• Простейшие логарифмические уравнения

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите $\log_4 64$.
2. Вычислите $\log_7 7$.
3. Вычислите $\log_2\dfrac{1}{8}$.
4. При каких $a$ выражение $\log_a 5$ не имеет смысла?
5. Вычислите $\log_{0{,}5} 4$.
6. Докажите, что $\log_a a^n = n$ для любого целого $n$.