Арифметические операции в позиционных системах счисления

В этой статье вы сможете узнать:

как выполняется сложение и вычитание чисел в системах счисления, отличных от десятичной;
как возникает перенос разряда при сложении и заём при вычитании;
как умножать числа в двоичной системе счисления.

Общий принцип арифметики в позиционных системах

Арифметические операции в любой позиционной системе счисления выполняются по тем же правилам столбиком, что и в десятичной системе, но перенос в следующий разряд происходит не при достижении 10, а при достижении основания системы счисления $q$ .

Сложение в двоичной системе

Таблица сложения однозначных двоичных чисел:

$0+0=0, \quad 0+1=1, \quad 1+0=1, \quad 1+1=10 \; (\text{перенос } 1 \text{ в старший разряд})$

Пример. Сложите $1011_2$ и $110_2$ .

\begin{array}{r} 1011 \\ +\;110 \\ \hline 10001 \end{array}

Складываем справа налево: $1+0=1$ ; $1+1=10$ , пишем 0, переносим 1; $0+1+1=10$ , пишем 0, переносим 1; $1+0+1=10$ , пишем 0, переносим 1 в новый разряд.

Ответ: $1011_2 + 110_2 = 10001_2$ .

Проверка через десятичную систему: $1011_2=11$ , $110_2=6$ , $11+6=17=10001_2$ — верно.

Вычитание в двоичной системе

Таблица вычитания однозначных двоичных чисел:

$0-0=0, \quad 1-0=1, \quad 1-1=0, \quad 0-1=1 \; (\text{заём } 1 \text{ из старшего разряда})$

Пример. Вычтите $110_2$ из $1011_2$ .

\begin{array}{r} 1011 \\ -\;110 \\ \hline 0101 \end{array}

Вычитаем справа налево: $1-0=1$ ; $1-1=0$ ; $0-1$ — занимаем 1 из следующего разряда, получаем $10-1=1$ , а следующий разряд уменьшается на 1; $0-1$ (с учётом занятой единицы) — снова занимаем, $10-1=1$ .

Ответ: $1011_2 - 110_2 = 101_2$ .

Проверка: $11-6=5=101_2$ — верно.

Умножение в двоичной системе

Таблица умножения однозначных двоичных чисел предельно проста:

$0 \times 0 = 0, \quad 0 \times 1 = 0, \quad 1 \times 0 = 0, \quad 1 \times 1 = 1$

Умножение многозначных двоичных чисел выполняется столбиком так же, как в десятичной системе: число умножается на каждую цифру множителя, результаты сдвигаются и складываются.

Пример. Умножьте $101_2$ на $11_2$ .

\begin{array}{r} \;\;101 \\ \times\;\;11 \\ \hline \;\;101 \\ 101\phantom{0} \\ \hline 1111 \end{array}

Ответ: $101_2 \times 11_2 = 1111_2$ .

Проверка: $5 \times 3 = 15 = 1111_2$ — верно.

Сложение и вычитание в восьмеричной и шестнадцатеричной системах

Принцип тот же: перенос происходит при достижении основания системы (8 или 16), а цифры складываются как обычно, при необходимости с переводом промежуточного результата через десятичную систему для проверки.

Пример. Сложите $57_8$ и $16_8$ .

Складываем младшие разряды: $7+6=13_{10}=15_8$ — пишем 5, переносим 1.

Складываем старшие разряды с переносом: $5+1+1=7$ .

Ответ: $57_8 + 16_8 = 75_8$ .

Проверка: $57_8=47_{10}$ , $16_8=14_{10}$ , $47+14=61_{10}=75_8$ — верно.

Пример. Вычтите $34_8$ из $61_8$ .

Младший разряд: $1-4$ — не хватает, занимаем: $8+1-4=5$ , старший разряд уменьшается на 1.

Старший разряд: $6-1-3=2$ .

Ответ: $61_8 - 34_8 = 25_8$ .

Проверка: $61_8=49_{10}$ , $34_8=28_{10}$ , $49-28=21_{10}=25_8$ — верно.

Пример. Сложите $3F_{16}$ и $1C_{16}$ .

Младший разряд: $F+C = 15+12=27_{10}=1B_{16}$ — пишем B, переносим 1.

Старший разряд: $3+1+1=5$ .

Ответ: $3F_{16} + 1C_{16} = 5B_{16}$ .

Проверка: $3F_{16}=63_{10}$ , $1C_{16}=28_{10}$ , $63+28=91_{10}=5B_{16}$ — верно.

Пример. Умножьте $12_8$ на $3_8$ .

$12_8 = 10_{10}$ , $3_8=3_{10}$ , $10 \times 3 = 30_{10} = 36_8$ .

Ответ: $12_8 \times 3_8 = 36_8$ .

Алгоритм выполнения арифметических операций

Определите основание системы счисления, в которой даны числа.
Выполняйте операцию столбиком справа налево, как в десятичной системе.
При сложении: если сумма цифр в разряде достигает основания системы или превышает его, запишите остаток от деления на основание, а частное перенесите в следующий разряд.
При вычитании: если уменьшаемая цифра меньше вычитаемой, займите единицу из следующего разряда — это добавляет к текущей цифре значение основания системы.
При умножении многозначных чисел умножьте всё число на каждую цифру множителя по отдельности, сдвигая промежуточные результаты, и сложите их по правилам той же системы счисления.
Проверьте результат, переведя все числа в десятичную систему и выполнив операцию там же.

Примеры решения

Пример 1. Сложите $1101_2$ и $1011_2$ .

Складываем разряды с переносами: $1+1=10$ (0, перенос 1); $0+1+1=10$ (0, перенос 1); $1+0+1=10$ (0, перенос 1); $1+1+1=11$ (1, перенос 1).

Ответ: $1101_2 + 1011_2 = 11000_2$ .

Пример 2. Вычтите $101_2$ из $1100_2$ .

$0-1$ — заём, $10-1=1$ ; следующий разряд уменьшен на 1: $0-1-0$ ... удобнее выполнить через десятичную проверку: $1100_2=12$ , $101_2=5$ , $12-5=7=111_2$ .

Ответ: $1100_2 - 101_2 = 111_2$ .

Пример 3. Умножьте $11_2$ на $11_2$ .

$11_2=3$ , $3\times3=9=1001_2$ .

Ответ: $11_2 \times 11_2 = 1001_2$ .

Пример 4. Сложите $2A_{16}$ и $17_{16}$ .

Младший разряд: $A+7=10+7=17_{10}=11_{16}$ — пишем 1, переносим 1.

Старший разряд: $2+1+1=4$ .

Ответ: $2A_{16} + 17_{16} = 41_{16}$ .

Пример 5. Вычтите $23_8$ из $47_8$ .

Младший разряд: $7-3=4$ .

Старший разряд: $4-2=2$ .

Ответ: $47_8 - 23_8 = 24_8$ .

Часто задаваемые вопросы

Почему перенос в двоичной системе происходит уже при сумме 2, а не 10? Потому что основание двоичной системы равно 2 — как только сумма цифр в разряде достигает основания системы счисления, происходит перенос единицы в следующий разряд, независимо от того, какое это основание (2, 8, 10 или 16).

Можно ли проверять арифметические действия в других системах счисления через перевод в десятичную? Да, это надёжный способ самопроверки: переведите оба числа в десятичную систему, выполните операцию там, а затем переведите результат обратно — если он совпадает с результатом, полученным в исходной системе, вычисление верно.

Чем заём при вычитании в двоичной системе отличается от заёма в десятичной? Принцип тот же самый — если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, берётся заём из старшего разряда, но в двоичной системе заём добавляет к разряду значение 2 (а не 10, как в десятичной), поскольку это значение основания системы.

Нужно ли уметь умножать числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах для экзамена? В заданиях ЕГЭ по информатике чаще всего встречаются сложение и вычитание в разных системах счисления и умножение в двоичной системе — но общий принцип умножения столбиком одинаков для любого основания, поэтому стоит понимать сам механизм, а не только конкретные таблицы.

Задачи для самостоятельного решения

Сложите числа $1110_2$ и $101_2$ .
Вычтите $1001_2$ из $1111_2$ .
Умножьте $110_2$ на $101_2$ .
Сложите числа $37_8$ и $25_8$ .
Найдите сумму $1A_{16}$ и $2C_{16}$ .
Объясните, почему при сложении $1_2+1_2$ получается $10_2$ , а не $2_2$ .